Twin-Tアクティブノッチフィルター解析

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Twin-T Active Notch Filterの分析のヒントを教えてください。デルタ星変換を試してからノード解析を行いましたが、方程式が矛盾することになりました。例として、テキサスインスツルメンツのアプリケーションノート「オーディオ回路コレクション、パート2」の図1をご覧ください。

ここに画像の説明を入力してください

私が研究しているより一般的な例では、C4 / C5とR6 / R7（およびそのVcc）を削除し、T受動部品を次のように整合コンダクタンスとして扱います。

R1とR2がY1になり、R3が2Y1になり、C1とC2がY2になり、C3が2Y2になり、R4とR5抵抗R1とR2を備えた一般的な分圧器

audio operational-amplifier filter

— ジョージ
ソース

これは、dsp.stackexchange.comがそこにトピックがあるべきだと考える質問のように聞こえます。他の人はどう思いますか？

— ケレンイブ

@Kellenjb-ここでも話題になっていますが、より良い応答が得られるかもしれません。OPまたはDSPの担当者がそれを移行したい場合、それを行うことができます-確かにもう少し注意を払うことができます。または、回路図を作成して画像をアップロードし、これをフロントページにバンプして、より注目を集める必要があります。初めて見逃した方法がわからない。

— ケビンフェルメール

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Delta-Star変換は、次の手順を使用してTwin-Tネットワークを分析するために使用できます。

2つのTネットワークは、ツインデルタネットワークに並行して変換できます。
これら2つのデルタネットワークを単一のデルタネットワークに圧縮します。
結果のデルタネットワークをTネットワークに変換します。
パッシブツインTのノッチ動作を確認するには、ノード2がグランドに接続されていると仮定し、ステップ3で取得したデルタネットワークを分圧器として扱います。

$H （ s ） = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$ 。
ブートストラップの効果を見るために、ノード2が電圧αVoutに保持されていると仮定します。ここで、αは0〜1の間のスケーリング係数です。システムの動作を見つけるには、方程式を解く必要があります
$v_{でる} = α \cdot v_{でる} + H （ s ）（ v_{に} - α \cdot v_{でる} ）$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ 、どこ $H （ s ） = Z_{2} / （ Z_{1} + Z_{2} ）$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ フィードバックなしの伝達関数です。これを行うと、新しい伝達関数が見つかります。 $G （ s ） = \frac{1}{（ 1 - α ） \frac{1}{H （ s ）} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ 。に注意してください $\alpha=0$ （フィードバックなし）、 $G(s)=H(s)$ 、予想通り。にとって $\alpha=1$ 、システムが不安定になります。0〜1のアルファ値に対してこの関数をプロットすると、ノッチのQが大幅に増加することがわかります。

結果の伝達関数は次のとおりです。

G （ s ） = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} （ α - 1 ） + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$ 。

フィードバックゲインとして、周波数応答は次のようになります $\alpha$ 変更されます：

さまざまな変換の代数は少し面倒です。私はそれを行うためにMathematicaを使用しました：

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— ニボット
ソース

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これを解決する1つの方法があります-フィードバック付きノッチフィルターはもう少し複雑なので、とりあえず、Twin-Tノッチフィルターの一般的な形式を行う方法の概要を説明します。

ここに画像の説明を入力してください

節点解析を使用して回路を解くには、電圧源Vinを同等のノートンソースに変換します-ただし、V1を2つのノートンソースに変換してR1とC1を考慮し、補正するために回路を再配置する必要があります。このような：

現在のソースバージョン

ポイント1、2、および3は、等価回路上の新しい位置に示されています。その後、検査によってKCL方程式を書き留め、未知のV1、V2、およびV3に3行3列の拡張マトリックスを作成できるはずです。その後、Cramerのルールを使用して、Vinに関してV2 / Voを解くことができます。

TIデータシートに示されているフィードバック回路は、出力がU1AとU1Bによってバッファーされるため、それほど複雑なものではないはずです。その後、同様の電流源等価回路を作成できます。最初の図でR2とC2を接地する代わりに、それらは次の値を持つ電圧源に接続されます。 $Vo*\alpha$ ここで、alphaは電圧分割比です。

編集：最初の図を修正

— ビトレックス
ソース