サンプル帯域で広帯域ノイズのエイリアシングが「パイルアップ」しないのはなぜですか？

私は最近、サンプリング、エイリアシングの影響、およびサンプリングされた信号に対するアンチエイリアシングフィルターの影響を研究するシミュレーションを構築しました。

サンプル帯域より上の基本周波数については、サンプリングされた信号に「偽者」が見られることは明らかです。アンチエイリアスフィルターを使用すると、詐欺師を排除できます。

しかし、サンプラーに広帯域ノイズ（実際にはホワイトノイズ）信号をかけると、アンチエイリアシングフィルターが存在するかどうかに大きな違いはありません。ピークツーピークノイズはどちらの場合も同じです。もちろん、ノイズの帯域幅は変わりました。

しかし、さらに、サンプルバンド外の（偽者）エイリアスブロードバンドノイズが、サンプルバンドで実際に通過するブロードバンドノイズに重畳され、より大きなピークツーピークレベルで「積み重なる」ことが予想されます。

なぜこれが起こらないのですか？

シミュレーションの時間ステップはMHzであり、調査中のシステムは1 kHzの範囲であることに注意してください。したがって、システムは事実上連続的な世界にあります。

正解です。サンプリング後、エイリアス化されたノイズ成分はナイキスト周波数以下の周波数帯域に蓄積します。問題は、まさにそれが何であるか、そしてその結果は何であるかということです。

以下では、広義の定常（WSS）ランダムプロセス、つまりパワースペクトルを定義できるランダムプロセスとしてモデル化されたランダムノイズを扱うと仮定します。場合ノイズ処理とであるRのK = N （K Tは）（サンプル周期でサンプリングされたノイズプロセスであるT）、その後のパワースペクトルRのkはのパワースペクトルのエイリアシングバージョンであるN （T ）：$N(t)$$R_k= N(kT)$$T$$R_k$$N(t)$

ここで、はサンプリング周波数です。もちろん、N （t ）が帯域制限されている場合（常にそうです）、N （t ）のシフトされたパワースペクトルの有限数のみが対象の帯域[ 0 、f s / 2 ]に加算されます。$f_s=1/T$$N(t)$$N(t)$$[0,f_s/2]$

ノイズパワーは、それぞれのパワースペクトルの積分によって与えられます。以下の場合には我々は、全体の帯域幅にわたって積分する必要がN （Tの）サンプリングされたノイズの場合には、一方のR K我々はバンドに統合する必要が[ 0 、F S / 2 ]。（1）から、元のパワースペクトルS N（f ）を統合するか、またはバンド[ 0のエイリアス（つまり、積み上げ）バージョンを統合するため、どちらの場合も同じパワーが得られることが明らかになります$N(t)$$N(t)$$R_k$$[0,f_s/2]$$S_N(f)$。$[0,f_s/2]$

その結果、サンプリング周波数に関係なく、ノイズ電力はサンプリング後に変化しません。サンプリングされたノイズは、元の連続時間ノイズと同じパワーを持ちます。

したがって、サンプリングされたノイズのパワーは、連続時間ノイズのパワーを変更した場合にのみ変化します。これは、アンチエイリアスフィルターによって行うことができます。フィルターはノイズ帯域幅、したがってノイズパワーを低減するためです。パワーを考慮する必要があるため、ピークツーピーク値を見るだけではあまり意味がないことに注意してください。

EAリー、DGメッサーシュミット：デジタル通信、第2版、セクション3.2.5（64ページ）

サンプリングされた信号によって表されるエネルギーは、入力信号とサンプル周波数のPDF（確率密度関数）のみに関連しています。入力信号の実際の帯域幅はこれに影響しません。

つまり、広帯域信号をアンダーサンプリングすると、元の広帯域信号と同じPDFを持つサンプルのセットが得られますが、これらのサンプルの有効帯域幅はFs / 2のみです。その帯域幅外の「過剰な」エネルギーは、サンプリングプロセスでは決して捕捉されませんでした。

サンプルレートを2倍にすると、2倍のエネルギーを「キャプチャ」します。