正弦波が他の波形よりも好ましいのはなぜですか？

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なぜ科学者は、三角波や方形のような他の波形ではなく、交流電流を表すために正弦波を選択したのですか？

正弦波は、電流と電圧を表す他の波形よりも優れていますか？

ac sine

— 新人91
ソース

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それらの波形を「選択」する人は誰もいません。

— PlasmaHH

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en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generatorの仕組みをご覧になることをお勧めします。三角波または方形波を生成するものを作成できる場合は、それをお願いします。

— PlasmaHH

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フーリエは、任意の信号/波形が多数の正弦波の重ね合わせとして記述できることを理解しました。

— HKOB

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@PlasmaHHサイン以外の波形のジェネレーターを構築することは可能です。（一般的なケースでは）台形のBLDCの逆起電力を見てください。しかし、はい、追加の努力なしで、正弦波はあなたが簡単に得るものです。

— ローランドメスリンガー

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@Plutoniumsmugglerそれはまさに私が言ったことです！あなたは、すべての関数がフーリエ級数として表現できると主張しました。これをすべての周期関数に修正しました。（実際、おそらく、継続性と微分可能性の適切な概念を含めて、さらに制限する必要があります。）

— デビッドリチャービー

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円運動は自然に正弦波を生成します：-

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これは非常に自然で基本的なことであり、異なる波形を生成しようとすると、より複雑になるか、望ましくない副作用が発生します。

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上下運動（本質的に）は、時間に対して正弦波を生成します。

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— アンディ別名
ソース

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ニースpiccysアンディ、SHMルール。（+1）

— ジムディアデン

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調和振動FTW

— vaxquis

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IIRCばねの動きはおおよそ正弦波によるものであり、近似は小さなたわみに対してのみ有効です。しかし、回転の場合は、まさに交流が正弦波である理由です。+ 1 '

— ベン・フォークト

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可能であれば、正弦波が基本であるため、それらから他の波形を構築できることを付け加えます。フーリエ級数と変換、誰ですか？

— セルギーKolodyazhnyy

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正弦波は、他の正弦波と区別して統合するという点でも特別です。

— ローマンスターコフ

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\begin{aligned} f (a (t) + b (t), t_{0}) & = f (a (t), t_{0}) + f (b (t), t_{0}) & linearity \\ f (a (t + h), t_{0}) & = f (a (t), t_{0} + h) & time invariance \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

応答は入力周波数ごとに異なるため、他の波形形状は通常保持されません。そのため、入力の一部を固有の周波数の正弦波成分に分解し、それらに対するネットワークの個々の応答を確認し、結果の正弦波信号を再構築します。結果は、通常、元の正弦波成分と同じ関係を持ちません。

したがって、フーリエ解析は非常に重要です。パッシブネットワークは正弦波信号に直接応答するため、すべてを正弦波に分解し、逆に戻すことが回路を解析するための重要なツールです。

— user66031
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これは循環議論ではありませんか？入力を他の種類のコンポーネント（たとえば、三角波）に分解すると、異なる結果が得られます。

— Random832

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@ Random832いいえ、パッシブRCLネットワークへの正弦波入力は常に正弦波出力を提供します（周波数に応じて減衰量と位相シフト量が異なります）。直接アナログ。三角形入力は三角形出力を与えません。フーリエ解析により、三角波は次の振幅、周波数で構成されていることがわかります。a、fa / 3、3f、a / 5、5fなど。回路が生成する波形を確認します。

— レベルリバーセント

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@ Random832たとえば、三角波を使用したRCLシステムの入力と出力を分析しようとすると、非線形応答が見つかります。サイン/コサイン波では、線形応答が得られます。これは重要です。

— アロン

@Aron：これに関連するのは、同じ周波数で位相が180度よりも小さい2つの正弦波を加算すると、同じ周波数と中間位相の1つの正弦波が生成されるという事実です。ただし、他のほとんどの種類の波形の2つの一致する周波数の異なる位相の信号を加算すると、元の波形とは異なる波形が生成されます。

— -supercat

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物事はサインとコサインに従って振動します。機械的、電気的、音響的、あなたはそれに名前を付けます。バネに質量を掛けると、正弦関数に従ってその共振周波数で上下に跳ね返ります。LC回路も同じように動作し、速度と力の代わりに電流と電圧を使用します。

正弦波は単一の周波数成分で構成されており、複数の異なる正弦波を加算することで他の波形を構築できます。スペクトルアナライザで信号を見ると、信号の周波数成分を確認できます。スペクトルアナライザーは、表示している周波数範囲で狭いフィルターをスイープするため、信号に含まれる各周波数でピークが表示されます。正弦波の場合、1つのピークが表示されます。方形波の場合、ピークaf、3f、5f、7fなどが表示されます。

サインとコサインは、回転するものの投影でもあります。たとえば、ACジェネレーターがあります。ACジェネレーターは、ワイヤーのコイルの隣で磁石を回転させます。磁石が回転すると、磁石によってコイルに衝突する磁場は、シャフト角度のサインに応じて変化し、コイルにもサイン関数に比例する電圧を生成します。

— alex.forencich
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@ alex.forencichに感謝します。サインとコサインは、私たちの周りの基本的な行動の中にあります。

— Rookie91

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おそらく、より高い周波数の波は一般に望ましくないことを答えに含めることができます。これは、より多くの容量性および誘導性の損失につながるだけでなく、電源によってフィルタリングされる必要があるノイズが増えるためです（たとえば、より高い周波数が存在するため）ハイファイ設定で）。

— -Sanchises

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注記として：正弦と余弦それらは微分方程式に自然に現れるので、そう基本的であり、宇宙の多くのファセットが良く（E＆M、スプリングなどを含む）微分方程式によってモデル化される

— 送信Cortアンモン-回復モニカ

2番目の点-周波数成分の概念（対周期性）は、基準として使用する直交波形セットから開始する場合にのみ意味があります-正弦波は三角波のさまざまな周波数成分で表示できると思います-正弦波は線形性のために特殊であるため、信号を正弦波に分解して受動ネットワーク（線形システム）に適用できるようになります

— user3125280

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波形を異なる波形のセットに分解できるからといって、この他の波形が何らかの形で「基本的」であることを意味するわけではありません。正弦波を別のものに分解することは確かに可能です。ただし、電子回路は、振動と正弦波の点で動作します。100 Hzのローパスフィルターを作成し、それに50 Hzの方形波を入れると、反対側に50 Hzの正弦波が得られます。方形波でも三角波でもない。これが正弦波が基本的な理由です。

— alex.forencich

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より数学的かつ物理的な意味で、なぜサインとコサインが波の基本になるのかは、ピタゴラスの定理と計算に根ざしています。

ピタゴラスの定理は、サインとコサインとともに、この宝石を私たちに与えました：

{s 私 n}^{2} （ t ） + {c o s}^{2} （ t ） = 1 、 t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

これにより、サインとコサインは、物理世界全体に散らばる逆二乗法則で互いに相殺されました。

そして、微積分では、これがあります：

\frac{d}{d バツ} s 私 n バツ = c o s バツ

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{d}{d バツ} c o s バツ = - s 私 n バツ

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

これは、いずれかの形式の計算操作が正弦波と余弦波を完全に保持している場合、それらを保存することを意味します。

For example, when we solve the instantaneous position of object in Hooke's law (similar form everywhere too) we have this:

- k x = F = m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

And the solution happens to be a linear function of $x=\mathrm{sin}(t)$ .

— Maxthon Chan
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+0.(9) ; also, IMO it's worth noting that solving most of the commonly used differential equations (wave equations, string equations, fluid equations) requires x=e^(lambda*t) substitution, which later creates a solution that can be made into x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t) form, essentially forcing a sine/cosine expansion in the solutions of such equations.

— vaxquis

@vaxquis The

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$ can be folded into one

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$ where f and g are linear functions.

— Maxthon Chan

yes, exactly. They can, as well, be expressed as cosine; I just pointed that out since it IMO clearly shows that all three forms (sine, cosine, sine+cosine) are equivalent and, in fact, are used interchangeably, depending on needs and context, as can be seen, e.g. on en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator or en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

— vaxquis

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Scientists did not chose the sine wave, that's what they got from an AC generator. In AC generator, sine wave is generated due to the rotor motion inside a magnetic field. There is no easy way to make it otherwise. See this figure in Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

— obaej
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Sine waves contain only one frequency. A square or triangle wave is a sum of infinite amount of sine waves that are harmonics of the fundamental frequency.

The derivative of a perfect square wave (has zero rise/fall time) is infinite when it changes from low to high or vice versa. The derivative of a perfect triangle wave is infinite at the top and bottom.

One practical consequence of this is that it is harder to transfer a square/triangle signal, say over a cable compared to a signal that is only a sine wave.

Another consequence is that a square wave tends to generate much more radiated noise compared to a sine wave. Because it contains a lot of harmonics, those harmonics may radiate. A typical example is the clock to an SDRAM on a PCB. If not routed with care it will generate a lot of radiated emission. This may cause failures in EMC testing.

A sine wave may also radiate, but then only the sine wave frequency would radiate out.

— Reidar Gjerstad
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You could argue that square waves contain only one frequency. A sine wave is a sum of infinite amount of square waves.

— jinawee

@jinawee You could, but there are other things that make sinewaves the "fundamental" wave type. For example, it's the only one that differentiates into itself (disregarding the phase shift). Although the physical explanation about oscillating springed systems is the one I like best.

— Roman Starkov

@jinawee, would you prove that, please?

— Eric Best

@EricBest I don't know the proof, but I was referring to Walsh functions en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function which are a Hilbert basis on the interval [0,1]. Of course some subtetlies may arise such as equality up to a set of measure zero or stuff like that.

— jinawee

@jinawee: Putting one sine wave through a linear system will yield either one sine wave of the same frequency, or DC (which may be viewed as one sine wave of the same frequency but zero amplitude). Putting a sum of sine waves through such a system will yield the same result as putting each wave through individually and adding the outputs. The combination of these two properties is unique to sine waves.

— supercat

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First of all, the sine and cosine functions are uniformly continuous(so there are no discontinuous points anywhere in their domain) and infinitely differentiable on the entire Real line. They are also easily computed by means of a Taylor series expansion.

These properties are especially useful in defining the Fourier series expansion of periodic functions on the real line. So non-sinusoidal waveforms such as the square, sawtooth, and triangle waves can be represented as an infinite sum of sine functions. Ergo, the sine wave forms the basis of Harmonic Analysis and is the most mathematically simple waveform to describe.

— LapToppin
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We always like to work with linear mathematical models of physical realities because of it simplicity to work with. Sinusoidal functions are 'eigenfunctions' of linear systems.

This means that if the input is $\sin(t)$
the output is of the form $A\cdot\sin(t + \phi)$

The function stays the same and is only scaled in amplitude and shifted in time. This gives us a good idea what happens to the signal if it propagates through the system.

— Axel Vanraes
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Thank you @Axel Vanraes for your valuable input.I appreciate it very much.

— Rookie91

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Sine/Cosine are solutions of second order linear differential equations.

sin'=cos, cos'=-sin

Basic electronic elements as inductors and capacitors produces either an integration of a differentiation of current to tension.

By decomposing arbitrary signals into sine waves, the differential equations can be analysed easily.

— TEMLIB
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One way to look at it, in a nutshell, is that a harmonic series of sine and cosine functions forms an orthogonal basis of a linear vector space of real-valued functions on a finite time interval. Thus a function on a time interval can be represented as a linear combination of harmonically related sine and cosine functions.

Of course you could use some other set of functions (e.g. particular wavelets) as long as they'd form a valid basis set, and decompose the function of interest that way. Sometimes such decompositions may be useful, but so far we only know of specialized applications for them.

Taking a geometrical analogy: you could use a non-ortogonoal basis to describe the components of a vector. For example, a vector in an orthonormal basis may have components of [1,8,-4]. In some other, non-orthonormal basis, it may have components of [21,-43,12]. Whether this set of components is easier or harder to interpret than the usual orthonormal basis depends on what you're trying to do.

— Reinstate Monica
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less losses
less number of harmonics
no interference with communication line
very less distrosional effect
the machine run their efficiency
very very little transient behavior in case L and C

— pradeep maurya
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