エレクトロニクスの芸術：エミッターフォロワーZout

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私は電子工学に不満を募らせています。それは第1章ではとても親しみやすい本ですが、第2章では作者がより教科書のようにしたかったようで、演習の代わりに情報をドロップし始めています。これは自習用の本ではないと思います...

残念ながら、私は概念を理解しなければならない人の一人です。私は盲目的に式に従うことはできません。特に、エミッタフォロアの出力および入力インピーダンスを理解しようとしています。テキストは、入力インピーダンス、つまりベースを見るインピーダンスがどのように導出されるかについての適切な内訳を示しています。次に、出力の式を調べて、それも計算できると言います。次に、それを証明するように求める演習が表示されます。

Z o u t = \frac{(Z s o u r c e)}{(h_{f e} + 1)}

$Zout = \frac{(Zsource)}{(h_{fe} + 1)}$

Show that the preceding relationship is correct.  
Hint: Hold the sourdce voltage fixed, and find 
the change in output currrent for a given change
in output voltage.  Remember that the source voltage 
is connected to the base through a series resistor.

どこから始めればいいのかよくわかりません。私はいくつかの数式を書き留めて置き換え始めました...

\begin{array}{rcl} r_{o u t} & = & \frac{(Δ V_{o あなた t} ）}{（ Δ 私_{o あなた t} ）} \\ = & \frac{（ Δ V_{e} ）}{（ Δ 私_{e} ）} \\ = & \frac{（ Δ V_{b} - 0.6 V ）}{（ Δ 私_{e} ）} \end{array}

$\begin{eqnarray*} r_{out} &=& \frac{(\Delta V_{out})}{(\Delta I_{out})}\\ &=& \frac{(\Delta V_e) }{ (\Delta I_e)} \\ &=& \frac{(\Delta V_b - 0.6V) }{ (\Delta I_e)}\\ \end{eqnarray*}$

\begin{array}{rcl} 私_{e} & = & 私_{c} + 私_{b} \\ = & （ h_{f e} * 私_{b} ） + 私_{b} \\ = & （ h_{f e} + 1 ） * 私_{b} \end{array}

$\begin{eqnarray*} I_e &=& I_c + I_b \\ &=& (h_{fe} * I_b) + I_b\\ &=& (h_{fe}+1) * I_b\\ \end{eqnarray*}$

$\Delta I_e = (h_{fe}+1) * \Delta I_b$

$r_{out} = \frac{(\Delta V_b) - 0.6 V } {(h_{fe} + 1) * \Delta I_b}$

Can I assume that 0.6 V is negligible and can I drop it?  If so,

\begin{array}{rcl} r_{o u t} & = & \frac{(Δ V_{b})}{(h_{f e} + 1) * (Δ I_{b})} \\ = & \frac{(Δ V_{b})}{(Δ I_{b})} * \frac{1}{(h_{f e} + 1)} \\ = & \frac{r_{s o u r c e}}{(h_{f e} + 1)} \end{array}

$\begin{eqnarray*} r_{out} &=& \frac{(\Delta V_b)}{ (h_{fe} + 1) * (\Delta I_b)}\\ &=& \frac{(\Delta V_b)}{(\Delta I_b)} * \frac{1}{(h_{fe} + 1)} \\ &=& \frac{r_{source} }{ (h_{fe} + 1)} \end{eqnarray*}$

私の派生のどこかに私はいますか？[ ]および[ ] に関する私の仮定は有効ですか？そして、私の派生でベースエミッタ接合部の電圧降下を下げることは許容されますか？ $V_{out} = V_e$ $I_{out} = I_e$

impedance emitter-follower

— ワトソン博士
ソース

ワトソン、Mathjaxは方程式を美しく見せるためにあります。私があなたの方程式を他の何かを意味するように変更していないことを確認してください。

— Kortuk '19年

@Kortuk：そのようなマークアップがあるとは思いもしませんでした！投稿を編集していただき、ありがとうございました。将来は必ず使ってみます！

— ワトソン博士

ワトソン、あなたの方程式を台無しにしてくれなかったのがうれしい。

— Kortuk、

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これを行う標準的な方法は、小信号AC分析を使用することです。トランジスタが順方向アクティブ領域でバイアスされていると仮定します。ハイブリッドpiモデルを使用します。次に、出力ノードにテスト電圧/電流源を配置し、入力を接地します。テストソースの電流/電圧を測定すると、出力インピーダンスがわかります。その方法で入力インピーダンスを見つけることもできます。

これは、BJTの小信号モデルを使用すると、問題を機械的に簡単に実行できる線形回路解析問題に変換できることを除いて、基本的には本の指示と同じです。

あなたの導出の何が悪いのかはわかりませんが、電圧と電流の変化を見ているので、0.6Vはどういうわけかドロップアウトするはずです。

— Allanw
ソース

良い点は、私たちが変化を見ているなら、0.6V定数はおそらくどこかに落ちるはずです。多分、あなたが言ったようなハイブリッドパイのようなモデルでセドラ＆スミスに移るべきだろう。

— ワトソン博士、

+1これが最良の方法です。（@Dr。Watson-コーヒー1杯のHybrid-pi分析を行ったところです。必要に応じて結果を投稿できます）。

— MikeJ-UK、

@ MikeJ-UK：あまり問題にならないようでしたら、よろしくお願いします。私のSedra＆Smithのコピーが今朝届きました。

— ワトソン博士、

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@DrWatson 0.6V定数が欠落するのではなく、小さな信号の変動（つまり、デルタまたは微分）を計算しているため、方程式から削除する必要があります。ため

、あなたが理解ように、一定であり、0.6Vに等しい

エミッタ-ベース接合の無視できる効果による小信号と、。定数の導関数はゼロです。

V_{b e} = V_{b} - V_{e}

$V_{be} = V_b - V_e$

Δ V_{b} \approx Δ V_{e}

$\Delta V_b \approx \Delta V_e$

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OPで以前に指摘したように、定数を「デルタ化」すると、定数なしで定数が消えます。私も学習者であり、同じ本のこの部分と戦っています。著者が入力電圧を一定に設定してほしいと思っている理由はわかりませんが、これを検証して、正しい結果を得ることができます。

最初にエミッタフォロー回路を2つのインピーダンスが並列していると見なすことにより、エレクトロニクス101の知識を活用できます。出力から見て、右折して、トランジスタのエミッタを調べます。左折すると、エミッター抵抗を調べます。あなたを混乱させる電圧源とアース接続がありますが、インピーダンスを得るためにそれらは無視できます。これが正しいことを確認するには、たとえば、1つの抵抗と電圧源を含む非常に単純な回路を作成します。たとえば、直列の電圧源が抵抗のインピーダンス（抵抗）を変更しないことを示します。インピーダンスの定義は：

Z = Δ V / Δ I .

$Z = \Delta V / \Delta I .$

再び、これは抵抗器のRです。今エミッターフォロワーに戻ります

概略図

^{この回路のシミュレーション – CircuitLabを使用して作成された回路図}

したがって、Z1はトランジスタのエミッタを見ているインピーダンスであり、Z2はちょうどR2であり、それらは並列です。「調べること」は理にかなっています。これは、トランジスタの場合、実際にどのように調べているかに依存するためです（たとえば、出力インピーダンスと入力インピーダンスが異なるなど）。

1 / R = 1 / R_{1} + 1 / R_{2} .

$1/R = 1/R_1 + 1/R_2 .$

R = R_{1} | | R_{2}

$R = R_1||R_2$

Z_{1} | | Z_{2}

$Z_1||Z_2$

Z_{1} = Δ V_{e} / Δ I_{e}

$Z_1 = \Delta V_e / \Delta I_e$

Z_{1} = \frac{Δ V_{i n} + Δ V_{R 1} + Δ V_{b e}}{Δ I_{e}}

$Z_1 = \frac{\Delta V_{in} + \Delta V_{R1} + \Delta V_{be}}{\Delta I_e}$

ベース-エミッタ接合電圧はほぼ一定に保たれるため、

Δ V_{b e} \approx 0.6 V - 0.6 V = 0

$\Delta V_{be} \approx 0.6 V - 0.6 V = 0$

...しかし、トランジスタのエミッタから流れる電流は、ベースに流れる電流の〜beta倍です。

Δ I_{e} = Δ I_{b} (1 + β)

$\Delta I_e = \Delta I_b(1 + \beta)$

=> Z_{1} = \frac{Δ V_{i n} + Δ V_{R 1}}{Δ I_{b} (1 + β)}

$=> Z_1 = \frac{\Delta V_{in} + \Delta V_{R1}}{\Delta I_b(1 + \beta)}$

Δ I_{b} = Δ I_{i n} .

$\Delta I_b = \Delta I_{in}.$

インピーダンスの定義に従って、入力インピーダンスがあります。

=> Z_{1} = \frac{Z_{i n} + R_{1}}{(1 + β)}

$=> Z_1 = \frac{Z_{in} + R_1}{(1 + \beta)}$

これを読んでいる場合は、おそらくエミッタフォロアの入力インピーダンスをすでに経験しているはずです。この部分は、トランジスタの部分（エミッタ抵抗、R_2）から分離したエミッタフォロワーの部分に依存しているため、少し混乱しました。とにかく、続けて...

Z_{i n} = (1 + β) * R_{2}

$Z_{in} = (1+\beta)*R_2$

Z_{1} = \frac{(1 + β) * R_{2} + R_{1}}{(1 + β)}

$Z_1 = \frac{ (1+\beta)*R_2 + R_1}{(1 + \beta)}$

= R_{2} + \frac{R_{1}}{(1 + β)}

$= R_2 + \frac{R_1}{(1 + \beta)}$

Z = R_{2} | | (R_{2} + \frac{R_{1}}{(1 + β)})

$Z = R_2 || \left (R_2 + \frac{R_1}{(1 + \beta)} \right)$

Z_{1} = \frac{Δ V_{i n} + V_{R 1}}{Δ I_{b} (1 + β)}

$Z_1 = \frac{\Delta V_{in} + V_{R1}}{\Delta I_b(1 + \beta)}$

D e l t a V_{i n} = 0

$Delta V_{in} = 0$

=> Z_{1} = \frac{Δ V_{R} 1}{Δ I_{b} (1 + β)}

$=> Z_1 = \frac{\Delta V_R1}{\Delta I_b(1 + \beta)}$

=> Z_{1} = \frac{R_{1}}{(1 + β)}

$=> Z_1 = \frac{R_1}{(1 + \beta)}$

今私たちは持っています：

Z = Z_{2} | | \frac{R_{1}}{（ 1 + β ）}

$Z = Z_2 || \frac{R_1}{(1 + \beta)}$

ページの後半で著者は言う：

厳密に言えば、回路の出力インピーダンスにはRの並列抵抗も含まれている必要がありますが、実際にはZout（エミッタを見るインピーダンス）が支配的です。

さて、Z_2を除外すると、次のようになります。

Z = \frac{R_{1}}{（ 1 + β ）}

$Z = \frac{R_1}{(1 + \beta)}$

本ではZ_1はZoutと呼ばれています。

— エリオット
ソース

あなたの計算から、結果は正しいかもしれないと導き出すことができます-しかし、それはおおよその概算にすぎません。はるかに正確な結果（ただし、近似値は異なります）は、Z = Re || [R1 /β+ 1 / gm）]で、gm = transconductance = Ic / Vtです。MikeJ-UKからの回答も参照してください。

— LvW 2016年

OPの質問は、Art of Electronics 2nd Editionの演習2.1に関するものでした。この演習では、導出した方程式を求め、入力電圧を固定して導出を求めています。

— Elliot

なるほど、分かりました。しかし、ご存じのように、0.6ボルトを固定するのはかなり「奇妙な」方法です。

— LvW 2016年

固定されるのは、0.6ボルトのダイオードドロップだけではなく、方程式の目的で固定されるのは入力です。OPの質問では、彼らはその本を引用しています。「電源電圧を固定する」。見知らぬ人のようです。よくわかりません。

— Elliot

2

私はあなたの欲求不満を共有します。AOAは、小信号モデルなどの基本的なツールをざっと見て、経験則の結果をより迅速に取得します。あなたがより標準的な治療を受けたなら、この演習は彼らが来るのと同じくらい簡単です。ただし、この結果はコースのかなり後のほうにあります。確かに第2章の最初ではありません。そのため、回路をかなり早く構築できます。これはトレードオフです。

演習で得られたヒントを見てみましょう。

Exercise 2.4. Show that the preceding relationship is correct.
Hint: hold the source voltage fixed and find the change in output
current for a given forced change in output voltage. Remember
that the source voltage is connected to the base through a series
resistor.

これを行うための簡単な手順があります。これは常に、線形ネットワークの2つのポート間で同等のテブナンを見つけることと同じです。AOAはBJTの小信号モデルについて教えていないため、その（標準の）道路は閉鎖されています。

彼らは以前にテブナンを扱っていたとしても、私見はそれでも貧弱な仕事をしています。小信号モデルをテブナンの定理と組み合わせて使用する方法について、はるかに優れた説明が本当に必要です。彼らはそれをつまんで、それが適切に説明されているかのようにふりをします。

ここに、私が彼らがそれを示唆していると思うハーフアッシングの小信号モデルがあります：

抵抗を配置する $R_s$ 小信号ソースの出力抵抗を表すベース入力。
すべての独立したソース（ベース電圧ソースとVCC）を、グランドへの短絡で置き換えることによってゼロにします。
忘れる $R$ 単にそれを排除することによって。
代わりに、エミッタに小信号電圧源を配置します。

BJTを線形小信号モデルに置き換える方法を示していないので、行き詰まっています。しかし、ここでの秘訣は、ベース電圧とエミッタ電圧がエミッタフォロアで互いに追跡するという事実を単純に使用できることです（この本では、この時点でこれについて説明しています）。

議論は次のようになります：

エミッタでの小信号電圧は、ベースでの同じ電圧変化に対応する必要があります。あれを呼べ $\Delta v$ 。
ベース電圧の変化はベース電流の変化を引き起こさなければならない $\Delta i_b=\frac{\Delta v}{R_s}$ 。
BJTアクションにより、ベース電流の変化はエミッタ電流の変化に対応し、 $\Delta i_e=(\beta+1) \Delta i_b$ 。
Now we know the voltage and current through the voltage source at the emitter, we can find the equivalent impedance it sees "looking in" to the emitter, i.e. the output impedance of the emitter-follower.

Giving us:

Z_{o u t p u t} = \frac{Δ v}{Δ i_{e}} = \frac{R_{s} Δ i_{b}}{(β + 1) Δ i_{b}} = \frac{R_{s}}{β + 1}

$Z_{output} = \frac{\Delta v}{\Delta i_e} = \frac{R_s \Delta i_b}{(\beta+1) \Delta i_b} = \frac{R_s}{\beta+1}$

QED.

Note: At this point, you can simply add back $R$ in parallel with $Z_{output}$ .

If you do know about the standard hybrid-pi small-signal model, you would go through the same exercise, only you'd replace the BJT with an equivalent small-signal linear circuit model and solve it to get this more detailed result:

Z_{o u t p u t} = R_{E} | | r_{o} | | \frac{R_{s} + r_{π}}{β + 1}

$Z_{output} = R_E || r_o || \frac{R_s+r_\pi}{\beta+1}$

Where

$R_E$ is the emitter resistor (called just $R$ in the book).
$R_s$ is output resistance of the small-signal voltage source feeding the base.
$r_o$ is part of the hybrid-pi model which models the early effect, you can neglect it neglect it by setting $r_o = \infty$ .
$r_\pi$ is part of the hybrid-pi model which depends on the operating point / collector current. $r_\pi/\beta$ is typically on the order of 1-20 ohms.

If you use all the above to simplify the full expression you once again end up with

Z_{o u t p u t} = \frac{R_{s}}{β + 1}

$Z_{output} = \frac{R_s}{\beta+1}$

Either way, you've shown that emitter-follower has the effect of lowering the output impedance of the source, which means it acts more like an ideal voltage source, i.e. there's a smaller drop in output voltage when attaching a load.

— Laminated Broccoli
ソース

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This is what I get using a hybrid-pi model with a base resistor of Rin and an emitter load of Re ...

v_{o} = v_{i n} - \frac{(v_{i n} + i_{o} R_{e}) (R_{i n} + r_{π})}{(R_{i n} + r_{π} + R_{e} (1 + β))}

$v_o=v_{in}-\frac{(v_{in}+i_oR_e)(R_{in}+r_\pi)}{(R_{in}+r_\pi+R_e(1+\beta))}$

\frac{d v_{o}}{d i_{o}} = \frac{R_{e} (R_{i n} + r_{π})}{(R_{i n} + r_{π}) + R_{e} (1 + β)}

$\frac{\mathrm dv_o}{\mathrm di_o}=\frac{R_e(R_{in}+r_\pi)}{(R_{in}+r_\pi)+R_e(1+\beta)}$

Now if $R_e$ is large and $R_{in}$ >> $r_\pi$ , this approximates to $\frac{R_{in}}{1+\beta}$

( $\beta$ is so much quicker to LaTex than $h_{fe}$ :)

— MikeJ-UK
ソース

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If anyone else comes across this post. This question is answered nicely here:

https://www.pdx.edu/nanogroup/sites/www.pdx.edu.nanogroup/files/2013_Input_output_impedance_9.pdf

What your looking for is in section II.B.2 and II.B.3

— user158323
ソース

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It would be wise to copy out the relavent information and include it in this post as links go down and then no one can use this answer

— Voltage Spike