フーリエ級数の機能は何ですか？

フーリエ級数とは何ですか？それは何に使用されますか？

フーリエ級数：

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

用語は定数、つまりDCレベルです。また、2で割らずに作成することもできますが、これが慣例です。無限和の項は、同じ周波数の重み付きサインと重み付きコサインの合計です。これらをフェーザーとして複雑なArgandプレーンに描画すると、結果は再び正弦波になりますが、振幅が異なり、位相がシフトします。したがって、方程式は次のように書くこともできます。 $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

私達は正弦の合計を持っているので、基本周波数のすべての複数の周波数は、独自の振幅と位相と、それらのそれぞれを。 $\omega_0$

フーリエは、この方法ですべての反復関数を記述できることを証明しました。シリーズは無限である場合もあれば、有限数の項を持つ場合もあります。用語が欠落している場合があります。これは、振幅がゼロであることを意味します。

最もよく知られているフーリエ級数の1つは、方形波のものです。

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

または、展開：

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

したがって、これは欠落している用語を持つこのようなシリーズです。方形波には高調波もありません。次の図は、時間領域での表示を示しています。

上の図は、最初の2つの用語の合計を示しており、3番目の用語と下部に4番目の用語が追加されています。追加された各用語は、波形を方形波に近づけます。完全な方形波を得るには、シリーズの制限を無限大にする必要があります。

基本的なサインを見ることは難しい場合があります。たとえば、3Hzのサインと4Hzのサインの合計を取ります。結果の波形は1秒に1回、つまり1Hzで繰り返されます。振幅がゼロであっても、1Hzが基本です。シリーズは次のように書くことができます

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

次のすべての項も振幅がゼロです。

電圧対時間のグラフで考えられる、または正当に描画できるすべての実現可能なアナログ信号は、さまざまな周波数の無限数の正弦波の合計として数学的に表現できます-この形式の何か：

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

異なる信号は、値変更することによって構成されA、B、Cなどとf1、f2等を。

誰かがフーリエ級数を指すとき、彼らは上記のような一連の加算操作として波形を表現することを指します。

現実的には、すべてのアナログ信号には、すべての周波数である程度のコンテンツがあります-振幅が.1e-67であっても、それはそのままです。理想的にはそうではありません-純粋な方形波を作成した場合、実際には周期の奇数倍の周波数のみで構成されていることがわかります。したがって、1Hzの方形波は、1Hzの正弦波に3Hzの正弦波を加えたものです。三角波やランプなど、他のよく知られた波形については、人々はどの周波数がどのコンテンツに存在するかについて計算しました。

フーリエ級数は、周期的な波形を「調和的な」正弦波形の（おそらく無限の）和として表現する手段です。

また、制限された（コンパクトな）時間間隔の信号を正弦波の無限和として表現するためにも使用されます。

基本的に、時間領域の信号（つまり、時間の関数として表される信号）と周波数領域の同等の信号（つまり、周波数の関数として表される信号）の関係を確立することにより、フーリエシリーズは、信号およびシステムの高調波解析を可能にします。これは、無線伝送理論、コーディング理論、制御理論、量子理論、およびその他の非常に有用な工学分野の基礎です。

信号のフーリエ級数表現は、数学的なツールとして、最初は複雑な表現と「無限和」を含むより複雑に見えますが、エンジニアは閉形式の表現では解決できない問題を解決できます。

簡単に言えば、空間および/または時間の変動を周波数と位相の変動として表すと便利な場合があります。特に周期的な変動。しかし、変動が周期的ではない場合でも、変動が空間および/または時間のある間隔に限定される場合、周波数の対応する間隔（帯域幅）にも限定されます。

フーリエ級数の適用は、通信システムのチャネル帯域幅の理解、画像圧縮アルゴリズムの開発、配電システムの信頼性の向上に役立ちました。

上記のコメントに実用性を加えるために、FFT（高速フーリエ変換）やDFT（離散フーリエ変換）などのアルゴリズムを使用して、フーリエ時間領域シリーズを周波数領域成分に分解できます。アルゴリズムを適用できることの重要な実用的結果の1つは、R＆Dおよびラボテストで、ノイズフロア（SNRまたはスプリアスフリーダイナミックレンジなど）に対する信号のスペクトル純度を測定して、純度または頻度、歪みのない、私たちの信号内容はそうです。時間領域の出力（DAコンバーターが処理するなど）がある場合、時間領域の応答を確認するだけではこれらの値を確認できないため、シミュレーション側では、変換するためにDFTモジュールを使用しますスペクトル（周波数）ドメインへの時間ドメイン信号。ラボでは、オシロスコープで、スペクトルの特性を調べることができるツールが必要です（通常はスペクトルアナライザーを使用します）。これらのツールの中心は、フーリエ解析とスペクトル分解法に依存しています。EEでフーリエ解析が重要である理由について、実際的な理由があります。