ACの振幅と位相を表すために複素数を使用する理由

AC回路では、正弦波が極形式の複素数として表されるのはなぜですか？想像上の部分がある理由を物理的な観点から論理的に理解していません。純粋に数学的な観点から、回路の解析を容易にするのですか？

引用：「回路の解析を簡単にするのは、純粋に数学的な観点からですか？」

質問のこの部分がすでに十分に回答されたかどうかはわかりません。したがって：はい-正弦波信号を記述するために複雑な数学を使用することは、直接的な物理的関連性はありません。「分析を容易にする」ためだけです。

例として：正弦波信号のオイラーの有名な公式をフーリエ級数に導入すると、負の周波数（正の周波数に対称）になります。したがって、疑問が生じる：現実には負の周波数が存在するのか？答えはいいえだ！これは単なる便利な数学ツールです。

実際、その動機は非常に単純です。

線形回路があり、1つの周波数だけでそれを刺激すると、どこを見ても、測定する波の振幅と位相のみが変化する、まったく同じ周波数が常に見つかります。

それでは、周波数を忘れましょう。回路の周囲の電圧や電流の振幅と位相を追跡すれば、十分すぎるほどです。しかし、どうすればそれができますか？振幅と位相を追跡できる数学的なツールはありませんか？うん、あなたはそれを持っている：ベクトル。ベクトルには振幅（長さ）と位相（x軸と形成する角度）があり、ccw方向は正です。

これで、オブジェクトはクールで、オブジェクトはクールになりますが、クールなものはありませんか？そして、なぜ虚数単位を使用する必要があるのでしょうか？

2番目の質問への答えは簡単です。ベクトルを使用して計算を行うことは非常に苦痛であり、表記の苦痛です。

$$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$$

そして、それだけで追加です！別のベースを選択した場合、それは表記上の問題にすぎません。このベースはたまたま存在しますが、虚数単位jが必要です。前の混乱は次のようになります 。2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j はるかに簡単ですね。$\mathbb{R}^2$$j$

$$2+3j+1+7j=3+10j$$

わかりましたが、電圧と共通する虚ベクトルは何ですか？ガウス平面を想像してみてください。x軸は実軸、y軸は虚軸です。

電圧は、原点を中心としたベクトルで表すことができ、その長さは電圧値に等しく、開始角度は位相に等しくなります。今、魔法のトリック：ベクトルの回転を開始して、角速度が目的の周波数に対応するようにします$\omega$

バム。それがフェーザーと呼ばれるものであり、その小さな男はあなたがタフなサーキットに対して持っている最強の武器です。

$$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$$

そして最良のことは、これまで研究してきた実際の回路解析はすべて、フェーザーと複雑なインピーダンスで動作し続けるということです。つまり、オームの法則はフェーザーと複素インピーダンスに当てはまります。オームとキルヒホフの法則に基づいて構築された回路を解くためのツールがたくさんあるので、それは素晴らしいことです。

フェーザーで微分/積分を行うことも非常に簡単です。ご存じのように、正弦波と余弦波はすべて同じ周波数で話しているので、位相シフトの問題だけです。複素指数表現。

TL; DR：正弦波は極平面上の回転ベクトルとして表されます。これは、回転して写真を撮る間、つまり位相と振幅の関係を計算する時間を止めるのとほとんど同じです。ウィキペディアのフェーザーページをご覧ください。また、この他のより簡潔な回答も確認してください。

主な注意点は、任意の周期信号（実際に適用されるか、正確でない場合は任意の程度に適用されるいくつかの基本的な分析制限がある）は、次の倍数の周波数のサイン信号とコサイン信号の合計として表すことができることです信号の周期。

（抵抗器のような）直接応答の統治を離れると、エネルギーを保存および取得できます。コイルは磁気エネルギーを保存します（電圧と電流を徐々に開始しますが、電圧が破壊されると継続します）、コンデンサーは電気エネルギーを保存します（電流と電圧を徐々に開始しますが、電流が破壊すると継続します）、質量は力を徐々にインパルスに変換します、スプリングは徐々にインパルスを力に変換します。

電力の多くの形式は、基本的に何らかの励起尺度の二乗です。ここで、同じ引数のサインとコサインの二乗の合計が1であることがわかります。定数。正弦波と余弦波を使用したエネルギーの定期的な変換について説明してください。

正弦と余弦を使用する代数は希薄であることがわかります。興味のない周期信号のエネルギー形式を表す一種の虚数項を追加し、終了後に虚数部を捨てると、代数操作は実際の変数が複雑になるという犠牲を払ってはるかに簡単になります。 。

$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$$L$

$$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$$

$j\omega L$$v(t)$$v_o = Ve^{j\phi}$$i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$$i(t)$$i_o$$e^{j\omega t}$

それらは、DCの振幅のみであるのに対し、それらは、瞬時のAC信号、振幅と位相を表す2つの情報であることに同意すると仮定します。

情報を操作する必要があるのは分析だけでなく、回路の設計でもあります。コンポーネントにはインピーダンスがあり、AC信号に影響を与えます。したがって、設計するとき、特定のAC特性を持つ回路を設計するためにインピーダンスを計算できる必要があります。

複素数は、AC信号とインピーダンスの両方を表現および計算するのに便利です。長さと角度の2つの次元により、振幅と位相を一緒に計算し、一貫性を保つことができます。