英語の極と零点

誰かが説明することができますか、または電源補償器、またはその問題のための制御システムなどの極と零点の説明への良い参照を提供できます。私は数学的な説明を探しているのではなく、それはかなり簡単なように見えますが、実際的な意味で何を意味しているのですか。

たとえば、論文やアプリノートでは、「タイプIIIエラーアンプの構成には3つの極（原点に1つ）と2つのゼロがある」、「コンデンサC1を追加するとシステムにゼロが追加される」などの記述が一般的ですそれ以上の説明なしに、そこから何かを取り出すことになっているかのように。現実には、私は「うーん、だから何？」

したがって、このようなことは実際的な意味で何を意味するでしょうか。極点は不安定ですか？零点と極の数は安定性についての何かを示していますか？これについてのわかりやすい方法で書かれた参照はありますか？それは、ゼロと極を参照するapp-notesに来たときに、群衆に参加することを可能にする理解可能な方法で書かれていますか？ ？

1. フィードバックシステム（他のAC回路と同様）は、複雑な関数を使用して記述できます。それはシステムの伝達関数と呼ばれ、その線形挙動のすべてを記述します。$L(s)$

2. は2つのプロットとしてプロットできます。1つは振幅、もう1つは位相と周波数の両方（ボディプロット）です。これらのプロットにより、システムの安定性を簡単に判断できます。不安定なシステムは、ある程度のゲインを維持しながら、180°の位相シフトを取得します（したがって、負のフィードバックが突然正のフィードバックになり始めます）。$L(s)$

3. 電気回路を記述するすべての複雑な機能は、その極とゼロによって完全に定義されます。あなたがの2つの多項式の比としての機能を記述する場合その後、ゼロが分母に等しいポイントである0と極は分母の零点です。$j\omega$$0$

4. 極と零点からボード線図を描くのは非常に簡単なので、制御システムを指定するための好ましい方法です。また、出力負荷を無視できる場合（さまざまなステージをオペアンプで分離しているため）、通常の回路計算をすべて行わずに伝達関数を乗算するだけで済みます。多項式比の乗算は、極と零点のリストを連結できることを意味します。

質問に戻ります。

1. はじめにウィキペディアのページを確認し、極と零点のリストからボード線図を描画する方法のリファレンスについてこのチュートリアルを参照してください。

2. ラプラス変換の実用的なものについて少し読んでください。ショートバージョン：あなただけの複素数と同じように回路を計算するが、代わりにあなたが書くでしょうjはωを。次に見つけVをoをU $s$$j\omega$と伝達関数があります。$V_{out} \over V_{in}$

3. 開ループ伝達関数（はさみでループを切断し、そこに何らかの周波数応答メーターを配置することを想像してください）からボード線図を描き、安定性を検証します。フィードバックは、オペアンプと報酬アプリケーション・ノートでは短く、密でいますが、この部分のために必要なすべての理論を持っています。少なくともスキミングを試してください。

つまり、極と零点はフィードバックシステムの安定性を分析する方法です。

数学が多すぎないようにしようと思いますが、少なくとも数学なしで説明する方法がわかりません。

フィードバックシステムの基本構造は次のとおりです。

この形式では、フィードバックパスにゲインや補償はなく、完全にフォワードパスに配置されますが、より一般的なシステムのフィードバック部分は、このように変換して同じ方法で分析できます。

$L(s)$$L(s) = 1$$s$$L(s) = 0$

$L(0)$

極と零点

$L(s)$$A e^{i \theta}$$\theta$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s) = \frac{10^{6}}{s}$

$L(s)$$L(s)$

お役に立てれば。一般に、ユーザーが特別な要件がない限り、安定性を分析する必要がないように、データシートとアプリノートが補正コンポーネントの値を提案することを期待します。使用に問題があるという特定の部分を念頭に置いて、データシートにリンクを投稿する場合、私は何かを提供できるかもしれません。

極は、フィルターが共振し、少なくとも数学的には無限のゲインを持つ周波数です。ゼロは、周波数をブロックする場所であり、ゲインはゼロです。

オーディオアンプのカップリングなどの単純なDCブロッキングコンデンサの原点にはゼロがあります。0Hzの信号をブロックします。つまり、定電圧をブロックします。

一般的に、複雑な周波数を扱っています。フーリエのように、サイン波とコサイン波の和である信号だけではありません。サイン/コサインが指数関数的に増加または減少することを理論化します。このような信号を表す極と零点は、複素平面のどこにでも存在できます。

極が実軸に近い場合、これは通常の定常正弦波を表し、高品質LC回路のように、鋭く調整されたバンドパスフィルターを表します。それが遠い場合、それは低い「Q」値を備えたどろどろの柔らかい帯域通過フィルタです。同じ種類の直感的な推論がゼロに適用されます-ゼロが実際の軸に近い場合、応答スペクトルの鋭いノッチが発生します。

フィルターの応答を記述する伝達関数L（s）は、等しい数の極と零点を持つ必要があります。これは複雑な分析の基本的な事実であり、単純な代数、導関数、積分によって記述される線形集中成分を扱っているため有効であり、正弦/余弦を複雑な指数関数として記述することができます。この種の数学はどこでも分析的です。ただし、無限大では極または零点に言及しないのが一般的です。

実軸上にない場合、どちらのエンティティもペアで表示されます-複素周波数と複素共役です。これは、実際の信号が実際の信号を出力するという事実に関連しています。複素数の電圧は測定しません。（マイクロ波の世界では、より興味深いことが起こります。）

L（s）= 1 / sの場合、原点は極であり、無限大はゼロです。これは、積分器の機能です。定電圧を印加すると、ゲインは無限になります-出力は無制限に上昇します（電源電圧に達するまで、または回路が発煙するまで）。反対に、非常に高い周波数を積分器に入力しても効果はありません。時間とともにゼロに平均化されます。

「右半平面」の極は、信号が指数関数的に成長する特定の周波数での共振を表します。したがって、左半平面に極が必要です。つまり、フィルターに入力された任意の信号に対して、出力は最終的にゼロに減衰します。これは通常のフィルターです。もちろん、発振器は発振することになっています。それらは非線形性により安定した信号を維持します-トランジスタは出力に対してVcc以上または0ボルト以下を出力できません。

周波数応答プロットを見ると、すべてのバンプが極に対応し、すべてのディップがゼロに対応していると推測できますが、これは厳密には真実ではありません。また、実際の軸から遠く離れた極と零点には、そのようには見えない効果があります。誰かがいくつかの極と零点をどこでも動かして、応答をプロットできるFlashまたはJava Webアプレットを発明してくれたらいいと思います。

これはすべて単純化されすぎていますが、極と零点の意味について直感的に理解できるはずです。

これを、以前に投稿された詳細な説明よりもさらに簡単な用語にまとめてみましょう。

最初に実現することは、制御システムのタイプの極と零点は、ラプラス領域にいることを意味するということです。ラプラス変換は、微分方程式と積分方程式を代数的に扱うことができるように作成されました。ラプラス方程式の「s」は「の微分」を意味し、「1 / s」は「の積分を取る」を意味します。ただし、伝達関数が（1 + s）のブロックに続いて伝達関数（TF）が（3-5 / s）のブロックがある場合、（1 + sを乗算するだけで合計伝達関数を取得できます。 ）（3-5 / s）で（3s-5 / s-2）を取得します。これは、通常のドメインに留まって積分や微分を操作する必要がある場合よりもかなり簡単です。

したがって、質問に対して->極は、伝達関数全体に値が無限大の「s」があることを意味します。（想像できるように、これはしばしば非常に悪いことです。）ゼロは正反対を意味します： 's'の値は全体的なTF = 0になります。以下に例を示します。

TFは（s + 3）/（s + 8）です。このTFには、s = -3にゼロがあり、s = -8に極があります。

極は必要な悪です。たとえば、実際のシステムの出力に入力を追跡させるなど、有用なことを行うには、極が絶対に必要です。多くの場合、システムを複数設計する必要があります。しかし、設計を見ないと、これらの極の1つ以上が「sは正の実数成分を持つ数」に等しい可能性があります（つまり、平面の右半分）。これは、不安定なシステムを意味します。意図的に発振器を構築しない限り、これは通常非常に悪いです。

ほとんどのオープンループシステムには、極と零点があり、これらは容易に特性評価され、非常に適切に動作します。しかし、意図的に（または意図せず、非常に簡単に）出力の一部を取得し、システムの以前の部分にフィードバックすると、閉ループフィードバックシステムが作成されます。閉ループの極と零点は、開ループの極と零点に関連していますが、通常の観測者にとって直感的な方法ではありません。これは、デザイナーがしばしばトラブルに巻き込まれる場所であると言うだけで十分です。これらの閉ループポールは、ラプラス平面の左側に留まる必要があります。そのために最も一般的に使用される2つの手法は、閉ループパス全体のゲインを制御するか、ゼロを追加することです（開ループゼロは開ループポールが大好きで、しばしば閉ループポールの動作を大きく変えます）。

上記の高評価の回答に対する簡単なコメント：「要するに、極と零点はフィードバックシステムの安定性を分析する方法です。」

声明は真実ですが、システムはこれらの概念が有用であるためのフィードバックを必要としません。極と零点は、フィルター、アンプ、あらゆる種類の動的システムなど、フラットな応答以外の周波数応答を持つほとんどの実際のシステムを理解するのに役立ちます。

いくつかの数学を追加するために（多くのシステムでは）数学的な概念が必要です）、システムの周波数応答を次のように表現できます：

H（f）= B（f）/ A（f）

また、B（f）とA（f）は、周波数の複素多項式として表現できます。

簡単な例：RCローパスフィルターを検討します（電圧入力->直列R->シャントC->電圧出力）。

ゲイン（伝達関数）は、周波数領域で次のように表現できます。

Vout（f）/ Vin（f）= H（f）= 1 /（1 + j * 2 * pi * f * R * C）、

ここで、j（またはi）は-1の平方根です。

周波数fp = 1 /（2 pi RC）に1つの極があります。この複雑な方程式の振幅をプロットすると、DCでのゲインが1（0dB）であり、f = fp = 1 /（2 * pi * RC）でゲインが-3dBに低下し、ゲインがポールの後、周波数は10倍あたり-20dBで低下し続けます（10倍増加）。

したがって、ポールはゲイン応答と周波数のブレークポイントと考えることができます。この簡単な例は、w = 1 /（RC）またはf = 1 /（2 pi RC）の「コーナー周波数」を持つローパスフィルターです。

数学的には、極は分母の根です。同様に、ゼロは分子の根であり、ゲインはゼロを超える周波数で増加します。フェーズも影響を受けます...しかし、おそらくそれは非数学的なスレッドには十分すぎるでしょう。

「次数」は極の数で、「タイプ」はf = 0（純粋な積分器）での極の数です。