フーリエ対ラプラス

ブラックボックスにRLCネットワークがあり、インパルス応答を取得するためにラボでそれを強く叩いたとします。2つのオプションがあります。フーリエ変換を使用するか、ラプラス変換を使用して周波数応答を取得できます。どれを選択するか、それぞれの物理的な違いはどのようにしてわかりますか？

ラプラス変換は過渡応答または減衰も提供するが、フーリエ変換は提供しないと言われています。これは本当ですか？入力に正弦波信号を突然加えた場合、システムが安定するまで出力が正弦波ではない一時的な過渡応答が発生するはずです。誰かがこれが真実であることを示すために、RLCネットワークの観点から実際的な例を教えてもらえますか？

また、多くの場合、回路クラスでは、実数部がいずれにしてもゼロであると想定される回路のラプラス変換を使用するため、を使用してコンデンサのラプラス変換。これはと同等であると想定されています。コンデンサーを流れる電流は両端の電圧と90度位相がずれているため、実数部はゼロであると思います-これは正しいですか？フーリエ変換はラプラス変換と同じだと思いました。しかし、それは真実ではないようです考慮してください：$s = \sigma + j\omega$$\frac{1}{Cs}$$\frac{1}{j\omega C}$$\sigma = 0$$x(t) = u(t)$

ラプラス変換の出力で実部のないを代入しても、それらはまだ等しくないことがわかります。フーリエ変換に追加のインパルス成分があるのに、ラプラスにはないのはなぜですか？いつに置き換えて、フーリエ変換がラプラス変換と等しくなると期待できますか？$s = j \omega$$s = j\omega$

編集：私の質問の後半には、こことここで答えがあります。

フーリエ変換とラプラス変換は同じではありません。まず、ラプラス変換について説明するときは、変換積分が次の場所から始まる片側ラプラス変換を意味することがよくあります。$t=0$ （ではなく $t=-\infty$）、つまりラプラス変換を使用すると、通常、原因信号とシステムを分析します。フーリエ変換では、これが常に当てはまるわけではありません。

2つの違いを理解するには、ラプラス変換の収束領域（ROC）を確認することが重要です。原因信号の場合、ROCは常に右半平面です。つまり、極はありません（$s$）値の右側 $\sigma_0$ （どこ $\sigma$ 複素変数の実数部を示します $s$）。今なら$\sigma_0<0$、つまり $j\omega$ 軸がROC内にある場合は、次のように設定するだけでフーリエ変換を取得できます。 $s=j\omega$。もし$\sigma_0>0$その場合、フーリエ変換は存在しません（対応するシステムが不安定であるため）。3番目のケース（$\sigma_0=0$）興味深いのは、フーリエ変換は存在するが、ラプラス変換から次のように設定して取得できないためです。 $s=j\omega$。あなたの例はこのタイプです。ステップ関数のラプラス変換には極があります。$s=0$にある $j\omega$軸。このような場合はすべて、フーリエ変換には追加の$\delta$ の極位置でのインパルス $j\omega$ 軸。

フーリエ変換が過渡現象を処理できないことは真実ではないことに注意してください。これは単なる誤解です。これは、フーリエ変換を使用して、次のように定義された正弦波入力信号を適用することにより、システムの定常状態の動作を分析することが多いためです。$-\infty<t<\infty$。同様の質問に対するこの回答もご覧ください。

では、RLCコンポーネントで構成されたブラックボックスを強打し、応答（インパルス応答）を測定します。ここで、周波数応答、つまり正弦波に対する応答を知りたいと思います。

まず、純粋な正弦波でシステムを励起することはできません。遅すぎる、あなたはビッグバンから始めるべきだった。最善の方法は、余分な周波数成分を持つ因果正弦波を使用することです。

しかし、知りたいのは、時間領域の任意の入力に対するシステムの応答であるとしましょう。これを知るのにフーリエやラプラスは本当に必要ありません。畳み込みで十分です。

本当に何を手にしていますか？インパルス応答を測定しました。どういうわけかそれをプロットしました。信号をサンプリングしたADCとは対照的に、継続的に言ってみましょう。これは通常発生することであり、代わりにZ変換とFFTについて質問します。あなたがそれを与えた強打が良いデルタであったと仮定しましょう：強いが短いです。

システムがRLCであるため、線形であるため、重ね合わせの原則が機能します（とにかく、これについては話しません）。減衰したインパルスを時間的にオフセットして追加することにより、あらゆる入力を構成できます（これは制限事項です）。したがって、合計応答は、これらすべての個別の応答を合計しただけです。この追加は、たたみ込みinput（t）* impulseResponse（t）が行うこととまったく同じです。RLCシステムは「ハードウェアコンボリューター」と見なすことができます。これはおそらく、任意の入力に対する応答を予測する最も正確な方法です。

ここで、ラプラスとフーリエの関係を明らかにします。それ以外の場合、片側ラプラスとフーリエを比較しても意味がないため、私たちの領域は因果関数です。さらに、すべての実際の信号は因果関係があります。数学的には、ラプラス変換は関数のフーリエ変換であり、減衰する指数が事前に乗算されています。とても簡単です。したがって、積分が無限大であるためにフーリエ変換が存在しない場合、減衰する関数の積分が収束するため、減衰する指数が十分に強い場合でもラプラスは存在する可能性があります。数学的な観点から、これは特定の場合に非常に役立ちます。

しかし、実際に必要なのは、プラントの制御システムを作成することです。その場合は、応答を検査し、1次または2次モデルと群遅延で近似します。正確ではありませんが、これを行うことで、実際の応答の詳細をすべて取り除き、このモデルを制御方程式とアルゴリズム、および数十冊の本に相当する制御理論の知識にプラグインできるという大きな利点を得ることができます。制御システムを設計およびシミュレーションします。その場合、安定性分析に使用できる極と零点がすぐに得られるため、ラプラスモデルを使用します。