時間領域で負の周波数をどのように視覚化しますか？

デジタル信号処理の分野では、言葉を使う人々を見てきました

複雑な信号と負の周波数。例えば FFTスペクトラムで。

それは本当に時間領域で重要な意味を持っていますか、それとも数学的な対称性の一部にすぎませんか。

時間領域で負の周波数をどのように視覚化しますか？

FFTは、実数部と虚数部を含む2次元として信号を処理することにより機能します。単位円を覚えていますか？正の周波数は、フェーザーが反時計回りに回転するときであり、負の周波数は、フェーザーが時計回りに回転するときです。

信号の虚数部を捨てると、正と負の周波数の区別が失われます。

例（source）：

信号の虚数部をプロットすると、実数部に関して位相がシフトした別の正弦波が得られます。フェーザーが反対方向に回転している場合、上部の信号はまったく同じですが、虚数部と実数部の位相関係が異なることに注意してください。信号の虚数部を捨てると、周波数が正か負かを知る方法がなくなります。

時間領域では、負の周波数は位相反転によって表されます。

余弦波の場合は、とにかくゼロ時間を中心に対称なので、違いはありません。1から始まり、どちらの方向でもゼロになります。

$$cos(t) = cos(-t)$$

ただし、正弦波はゼロ時間でゼロの値から始まり、正の方向に上昇しますが、負の方向に下降します。

$$sin(t) = -sin(-t)$$

これは少し異なるアプローチです。どの周期関数が正確に周波数フーリエ変換を持っているかを見てみましょう。$-1$

それは関数であるのためのT ∈ [ 0 、1 ]。$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t)$$t \in [0,1]$

この関数は、関数と同じ実数部を持っていることに注意してください 。この後者の関数は、単一の周波数成分-周波数1のみを持ちます。$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}$$1$

実信号のみを考慮した場合にこれらの負の周波数が現れるのは、関数空間上の単位円の作用の厳密に複雑な固有値を簡単に記述する方法を提供するためです。

編集：私たちは本当にしたかったものを周波数解析を行うためには、最後のコメント時に展開するには、上の実数値関数のスペースを取ることである、F （[ 0 、1 ] 、Rは）とすることができます任意の関数表現F ∈ F （[ 0 、1 ] 、R）のいくつかの自然基盤の点でFを（[ 0 、1 ] 、R$[0,1]$$F([0,1], \mathbb{R})$$f \in F([0,1], \mathbb{R})$$F([0,1], \mathbb{R})$。私達は私達が私達の期間がある開始した場合、それは本当にそれほどしないことに同意に1または1 / 2に3 / 2私たちは本当にシフト演算子に関しても、この基礎の振る舞いを望むだろうので、F （X ）↦ F （a + x ）。$0$$1$$1/2$$3/2$$f(x) \mapsto f(a+x)$

問題は、適切な形容詞であるシフトに対して十分に動作機能のない直接和。これは、シフト演算子に関して適切に動作する2次元ベクトル空間の（完成した）直接和です。これは、マップを表す行列であるため、F （X ）↦ F （+ xが）複雑な固有値を有しています。状況を複雑にすると、これらの行列は（適切な基準で）対角になります。それは私たちが勉強する理由であるFを（[ 0 、1 $F([0,1], \mathbb{R})$$f(x) \mapsto f(a+x)$代わりに。ただし、複素数の導入にはペナルティがあります-負の周波数の概念を取得します。$F([0,1], \mathbb{C})$

これは、すべてのビット抽象的ですが、私が話しています具体的に何を見るためには、私の2つの好きな機能を考えてみます。 罪（2πT）=

$$\cos(2\pi t) = \frac{1}{2}(e^{2\pi \mathrm{i} t} + e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$ $$\sin(2\pi t) = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(e^{2\pi \mathrm{i} t} - e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$

シフトを考慮します$\frac{1}{4}$$s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})$

$$s(\cos(2\pi t)) = -\sin(2 \pi t)$$ $$s(\sin(2\pi t)) = \cos(2 \pi t)$$
The real vector space span of $\cos(2 \pi t)$ and $\sin(2 \pi t)$ is a two dimensional vector space of functions which is preserved by $s$. We can see that $s^2 = -1$ so $s$ has eigenvalues $\pm \mathrm{i}$

This two dimensional space of functions cannot be decomposed into eigenspaces for $s$ unless we complexify it. In this case the eigenvectors will be $e^{2\pi \mathrm{i} t}$ and $e^{-2 \pi \mathrm{i}t}$.

To recap, we started with two positive frequencies but in order to diagonalize the action of $s$ we had to add in the negative frequency function $e^{-2 \pi \mathrm{i} t}$.

A great way of visualizing negative frequencies is to modulate the original signal. Say you have a sine wave with frequency $\omega_0$ (in radians):

$$x(t)=\sin(\omega_0t)$$

The spectrum of this signal has a peak at $\omega=\omega_0$ and one at the negative frequency $\omega=-\omega_0$.

By modulating the signal $x(t)$ you basically shift the original spectrum by the carrier frequency $\omega_c>\omega_0$:

$$y(t)=x(t)\cos(\omega_ct)=\sin(\omega_0t)\cos(\omega_ct)=\frac{1}{2}[\sin(\omega_c+\omega_0)t-\sin(\omega_c-\omega_0)t]$$

Now the original negative peak at $-\omega_0$ has become visible after shifting it up by $\omega_c$. It is now at $\omega=\omega_c-\omega_0$. The peak at positive frequencies is not at $\omega=\omega_c+\omega_0$.

"How do you visualize negative Frequency in Time domain ?"

I interprete this question as follows: Do negative frequencies exist in reality?

If this interpretation is correct (and meets the core of the question) my answer is simply: NO - they do not exist.

More than that (to be a bit "sophistic") - "frequencies" cannot exist because they are not a physical quantity. Instead, we have sinusoidal waves with some specific properties - and on of these properties is the number of periods per second. And that`s what we call "frequency". And this number cannot be negative.

Hence, the introduction of signals having "negative frequencies" may have a lot of advantages but it is a pure abstract and theoretical "tool" allowing simplifications of mathematical expressions/descriptions.