使用中にMySQLデータベースのテーブルにインデックスを作成できますか

そして、できれば、なぜすべきではない理由（パフォーマンス/安定性）ですか？

テーブルでInnoDBプラグインストレージエンジンを使用している場合（これを強くお勧めします）、セカンダリインデックスである場合（ほぼ間違いなく）、テーブルから読み取ることができます（つまり、SELECTステートメントに対してブロックされません）。

はい、できます。インデックスの作成中は、インデックスを追加するテーブルをロックします。テーブルが大きい場合、インデックスの作成中に各行を読み取る必要があるため、時間がかかる場合があります。