GELUアクティベーションとは何ですか？

GELU（x）= xP（X≤x）=xΦ（x）として方程式を述べる GELU（Gaussian Linear Linear Unit）を使用するBERTペーパーを調べました。0.5x （1 + tanh [\ sqrt {2 /π}（x + 0.044715x ^ 3）]）に 相当します。方程式を単純化し、どのように承認されたかを説明してください。

$$GELU(x) = xP(X ≤ x) = xΦ(x).$$ $$0.5x(1 + tanh[\sqrt{ 2/π}(x + 0.044715x^3)])$$

GELU関数

次のように、$\mathcal{N}(0, 1)$の累積分布、つまり$\Phi(x)$を展開できます。

$$\text{GELU}(x):=x{\Bbb P}(X \le x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$$

これは定義であり、方程式（または関係）ではないことに注意してください。著者は、この提案に対していくつかの正当化、例えば確率論的な類似性を提供しているが、数学的にはこれは単なる定義に過ぎない。

GELUのプロットは次のとおりです。

タン近似

これらのタイプの数値近似の重要な考え方は、（主に経験に基づいて）同様の関数を見つけ、それをパラメーター化し、元の関数からのポイントのセットに適合させることです。

がに非常に近いことを知っている$\text{erf}(x)$$\text{tanh}(x)$

そして、の一次導関数のそれと一致において、これは、 （またはより多くの用語で）ポイントのセット。$\text{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$$\text{tanh}(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)$$x=0$$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$$\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+ax^2+bx^3+cx^4+dx^5)\right)$$ $\left(x_i, \text{erf}\left(\frac{x_i}{\sqrt{2}}\right)\right)$

この関数を間の20個のサンプルに適合させました（このサイトを使用）。係数は次のとおりです。$(-1.5, 1.5)$

と設定ことにより、はと推定され。より広い範囲からのサンプルが多いほど（そのサイトでは20しか許可されていません）、係数は紙の近くなります。最後に$a=c=d=0$$b$$0.04495641$$b$$0.044715$

$\text{GELU}(x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\simeq 0.5x\left(1+\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+0.044715x^3)\right)\right)$

平均二乗誤差でのために。$\sim 10^{-8}$$x \in [-10, 10]$

一次導関数間の関係を利用しなかった場合、用語がパラメーターに次のように含まれる ことに注意してください これはあまり美しくありません（分析的ではなく、数値的です）！$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$$0.5x\left(1+\text{tanh}\left(0.797885x+0.035677x^3\right)\right)$$

パリティを活用する

@BookYourLuckが示唆するように、関数のパリティを利用して、検索する多項式の空間を制限できます。つまり、は奇数関数、つまりであり、も奇数関数であるため、多項式関数はは、を持つためには 奇数（奇数のべき乗のみ）でなければなりません$\text{erf}$$f(-x)=-f(x)$$\text{tanh}$$\text{pol}(x)$$\text{tanh}$$x$

$$\text{erf}(-x)\simeq\text{tanh}(\text{pol}(-x))=\text{tanh}(-\text{pol}(x))=-\text{tanh}(\text{pol}(x))\simeq-\text{erf}(x)$$

以前は、私たちも、権力のために（ほぼ）ゼロ係数で終わることが幸運だったと、しかし一般的に、これは例えば、などの用語持っている、低品質の近似につながるかもしれないその単に選択する代わりに、余分な条件（偶数または奇数）によってキャンセルされます。$x^2$$x^4$$0.23x^2$$0x^2$

シグモイド近似

と（シグモイド）の間にも同様の関係があり平均二乗誤差のための。$\text{erf}(x)$$2\left(\sigma(x)-\frac{1}{2}\right)$$\sim 10^{-4}$$x \in [-10, 10]$

データポイントを生成し、関数を近似し、平均二乗誤差を計算するPythonコードを次に示します。

import math
import numpy as np
import scipy.optimize as optimize


def tahn(xs, a):
    return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs]


def sigmoid(xs, a):
    return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs]


print_points = 0
np.random.seed(123)
# xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0,
#       .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2]
# xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8)))
# xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6)))
xs = np.arange(-10, 10, 0.001)
erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs])
ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs])

# Fit tanh and sigmoid curves to erf points
tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs)
print('Tanh fit: a=%5.5f' % tuple(tanh_popt))

sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs)
print('Sigmoid fit: a=%5.5f' % tuple(sig_popt))

# curves used in https://mycurvefit.com:
# 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))
# 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))
y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs])
tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean()
y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs])
tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean()

# curve used in https://mycurvefit.com:
# 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5)
y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs])
sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean()
y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs])
sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean()

print('Paper tanh error:', tanh_error_paper)
print('Alternative tanh error:', tanh_error_alt)
print('Paper sigmoid error:', sigmoid_error_paper)
print('Alternative sigmoid error:', sigmoid_error_alt)

if print_points == 1:
    print(len(xs))
    for x, erf in zip(xs, erfs):
        print(x, erf)

出力：

Tanh fit: a=0.04485
Sigmoid fit: a=1.70099
Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08
Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08
Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05
Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05

まず、パリティによります。私達は示す必要があること用。

$$\Phi(x) = \frac12 \mathrm{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\right)$$ $\mathrm{erf}$ $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) \approx \tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right)$$ $a \approx 0.044715$

値が大きい場合、両方の関数は区切られます。小さい場合、それぞれのテイラー級数はおよび 代わりに、 および 係数を すると、論文の近い見つかります。 $x$$[-1, 1]$$x$

$$\tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ $$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3).$$ $$\tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right) = \sqrt\frac{2}{\pi} \left(x + \left(a-\frac{2}{3\pi}\right)x^3\right) + o(x^3)$$ $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) = \sqrt\frac2\pi \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3).$$ $x^3$ $$a \approx 0.04553992412$$ $0.044715$。