ベータ拡張の合流点

してみましょう $\to_\beta$ なる $\beta$ で-reduction $\lambda$ -calculus。 $\beta$ 展開 $\leftarrow_\beta$ を定義 $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ 。

ある $\leftarrow_\beta$ 合流？言い換えれば、我々はすべてのためのことを持っています $l,d,r$ 、場合 $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ 、そこに存在する $u$ ように $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ？

キーワード：上向き合流、逆さCRプロパティ

現地合流（すなわち場合：私は弱い性質を調べることで開始 $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ 、そして $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ）。これが真実であったとしても、 $\beta$ 展開が終了しないので合流を意味するわけではありませんが、障害を理解するのに役立つと思いました。

（トップ）の両方の減少がトップレベルである場合には、仮説になる $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ 。最大 $\alpha$ -renamingを、私たちはその想定することができ $x_1\not =x_2$ 、そしてそれらの用語では $x_1$ も $x_2$ も自由ではない。

（スロー）場合 $x_1$ で自由ではない $b_1$ 、我々は $b_1=b_2[a_2/x_2]$ 従って有する $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ 。

ケース（Top）の帰納による素朴な証明（ $b_1$ および $b_2$ について）は次のようになります。

場合 $b_1$ 可変であり $y_1$ 、
- もし $y_1=x_1$ 、仮説になる $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ 、我々は実際に持っています $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ 。
- $y_1\not=x_1$ 場合、単に（Throw）を使用できます。
同じ証明が適用され、 $b_2$ は変数です。
以下のための $b_1=\lambda y.c_1$ 及び $b_2=\lambda y.c_2$ 、仮説になる $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ と帰納法の仮定が与え $d$ ように $(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ ということを意味 $\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ 。残念ながら、私たちは持っていない $\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ 。（これは私に $\sigma$ 削減を考えさせます。）
アプリケーションでも同様の問題が発生します。λsは $\lambda$ べき場所ではありません。

lambda-calculus term-rewriting

— xavierm02
ソース

@chi私が間違ってる場合を除き、

作品。

(λ b . y b) y \leftarrow (λ a . (λ b . a b) y) y \to (λ a . a y) y

$(\lambda b.yb)y\leftarrow(\lambda a. (\lambda b. a b)y)y\rightarrow (\lambda a. a y)y$

— xavierm02

@chiについては、それについて考えて、反例をいくつか見た後、合流に見えるといくらか同意します。しかし実際には、どの程度

？

(λ x . x x y) y \to y y y \leftarrow (λ x . y x x) y

$(\lambda x.x\;x\;y)\;y \to y\;y\;y \leftarrow (\lambda x.y\;x\;x)\;y$

— Rodolphe Lepigre

それが本当なら私には便利だろうが、私はもう少し悲観的だ。私の同僚は次のような発言をしましたが、それはありそうにありません：同じ（チャーチ）整数を計算する任意の2つの任意のプログラムを組み合わせることができることを意味します。

— xavierm02

答えはノーです。Barendregtにおける運動3.5.11 Plotkinに起因反例を与えるが、参照することなく：

と

。証拠を探します。

(λ x . b x (b c)) c

$(\lambda x. b x (b c)) c$

(λ x . x x) (b c)

$(\lambda x. x x) (b c)$

— Gilles 'SO-悪をやめる'

反証として反証を投稿しましたが、証明になると思いましたが、わかりません。誰かがそれを理解できる場合は、回答を投稿してください。私は削除します。

— Gilles「SO-邪悪なことをやめ

回答:

2つの反例は次のとおりです。

$(\lambda x. b x (b c)) c$ と $(\lambda x. x x) (b c)$ （Plotkin）。
$(\lambda x. a (b x)) (c d)$ と（ヴァンOostrom）。 $a ((\lambda y. b (c y)) d)$

以下に詳述する反例は、ラムダ計算： HP Barenredgtによる構文とセマンティクス、改訂版（1984）、演習3.5.11（vii）に記載されています。それはプロトキンに起因します（正確な参照はありません）。私は、Vincent van Oostromによる別の反例の証明から採用された不完全な証明をTake Five：Easy Expansion Exercise（1996）[PDF]で示します。

証明の基礎は、特定の形式のベータ展開のみを検討できる標準化定理です。直観的に言えば、標準的な削減とは、左から右にすべての収縮を行う削減です。より正確には、ステップ $M_i$ あり、その前のステップ $M_j$ redexの左側にあるredexの残差であるステップがある場合、削減は非標準です。redexの「左」と「右」は、redexが縮小されたときに除去される $\lambda$ の位置によって定義されます。定理がある場合と述べ標準化 $M \rightarrow_\beta^* N$ 、その後から、標準的な減少がある $M$ には、 $N$ 。

ましょ $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ 及び $R = (\lambda x. x x) (b c)$ 。どちらの項も、1つのステップで $b c (b c)$ にベータ削減されます。

共通の祖先があると仮定する $A$ ように $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ 。標準化定理のおかげで、両方の削減が標準であると想定できます。一般性を失うことなく、 $A$ がこれらの削減が異なる最初のステップであると仮定します。これら二つの削減、聞かせて $\sigma$ 第一段階の可約式は、他の左、書き込みにあるものである $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ $C_1$ この収縮の文脈であり、 $(\lambda z. M) N$ 可約式です。してみましょう $\tau$ 他の減少で。

以来、 $\tau$ 標準であり、その最初のステップは、中孔の右側にある $C_1$ 、それは、契約できない $C_1$ またそれの左側にあります。したがって、最終的な用語 $\tau$ フォームである $C_2[(\lambda z. M') N']$ の部分 $C_1$ および $C_2$ 彼らの穴の左側には同一であり、 $M \rightarrow_\beta^* M'$ と $N \rightarrow_\beta^* N'$ 。 $\sigma$ は $C_1$ 減少することから始まり、さらに左に減少することはないため、その最終項は $C_3[S]$ 形式でなければなりませんここで、 $C_3$ 穴の左側の部分は $C_1$ および $C_2$ 左部分と同じです。、および $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ 。

$L$ と $R$ それぞれに、最上位のアプリケーションオペレーターの左側にある単一のラムダが含まれていることを確認します。以来、 $\tau$ ラムダ保持 $\lambda z. M$ 、このラムダは $L$ または $R$ いずれかが $\tau$ の最終項であるラムダであり、その用語では、アプリケーションの引数は $N$ を減らすことによって得られます。redexはトップレベルにあります。つまり、 $C_1 = C_2 = C_3 = []$ です。

もし $\tau$ で終了 $R$ は、 $M \rightarrow_\beta^* z z$ 、 $N \rightarrow_\beta^* b c$ と $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$ 。 $N$ が $L$ 子孫を持っている場合、この子孫も正規形である $b c$ 還元する必要があります。特に、の子孫は $N$ $N$ ので、ラムダであり得る $\sigma$ フォームの部分項収縮することができないの子孫である。還元されるの唯一のサブタームはであるため、の唯一の可能な子孫は自体の唯一の出現です。 $\check{N} P$ $\check{N}$ $N$ $L$ $b c$ $b c$ $N$ $L$ $b c$
もし $\tau$ で終わる $L$ は、 $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$ 、 $N \rightarrow_\beta^* c$ 、および $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$ 。 $N$ が $R$ 子孫を持っている場合、この子孫も合流によって $c$ 還元されなければなりません。

この時点で、van Oostromによると結論は簡単に続くはずですが、何か不足しています $N$ の子孫をトレースすると $M$ に関する情報がどのように表示されるかわかりません。不完全な投稿についてはお詫びします。一晩考えます。

— ジル 'SO-悪をやめる'
ソース

$\beta$ $x$ $v$ $(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$ $(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ $t_1$ $t_2$ $\beta$ $t_1$ $t_2$ $u$ $u \to_\beta^\ast t_1$ $u \to_\beta^\ast t_2$

— ロドルフ・レピグレ
ソース

(λ x . v) t_{1} \leftarrow (λ x . (λ x . v) t_{1}) t_{2} \to (λ x . v) t_{2}

$(\lambda x .v) t_1\leftarrow (\lambda x .(\lambda x .v) t_1)t_2\rightarrow (\lambda x .v) t_2$

くそー、あなたは正しいです！後で別のことを考えてみますが、今は時間がありません。

— Rodolphe Lepigre