要素が変化したときの逆行列の計算

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行列与えられた。逆行列聞かせてである（あり、）。 1つの要素が変更されと仮定します（をましょう）。目的は、この変更後にを見つけることです。この目的を見つける方法は、逆行列を最初から再計算するよりも効率的です。 $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— アジェド
ソース

すばらしい答え：この正確な問題に取り組む次の論文を見つけました：Sankowski、Piotr。「動的行列逆行列による動的推移閉包」Foundation of Computer Science、2004。議事録。第45回年次IEEEシンポジウム。IEEE、2004年

— 2013

紙が何らかの方法であなたの問題に答えるか対処する場合、答えを追加しても構いません！:)結局のところ、コメントはいつでも削除される可能性があります。

— たJuho

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シャーマン・モリソン式は助けることができます：

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

してみましょうと、標準基底の列ベクトルです。更新されたマトリックスがある場合はそれを確認することができますそれから $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

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$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— アダム・W
ソース

いい答えですが、これは前のYuvalとはどう違いますか？

— AJed

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A^{- 1}

$A^{-1}$