停止問題の意味

停止問題は次のように定義されます。

$H_{TM} = \{ \langle M, w \rangle \mid \text{\(M\) halts on input \(w\)}\}$

どういう意味かわかりません。です$H_{TM}$ それらのすべてが単語を受け入れる/拒否するようなチューリングマシンのコレクション $w$？それは特定の言葉ですか？それとも、アルファベットの単語を意味しますか？

ありがとう

セット（または必要に応じて言語） $H_{TM}$ペアのセットです $(M,w)$ どこ $w$ あなたのアルファベットの任意の文字列であり、 $M$ チューリングマシンであり、 $M$ で止まる $w$ 入力として。

つまり、ペア $P = (M,w)$ セットにあります $H_{TM}$ もしそうなら $M(w) \downarrow$。

ただし、このセットを決定することはできません。この言語だけを受け入れるチューリングマシンはありません。これは停止問題のバージョンです（したがって、$H$）。

最初に、チューリングマシンがテープで読み書きできる記号のアルファベットを選択します。通常、3つのシンボルがあります。$0$、 $1$、「空」。言葉は記号の有限シーケンスです。

もし $u$ そして $v$ 私たちは新しい単語を形成できる言葉です $\langle u, v \rangle$ これは、2つの単語を組み合わせたものを表します（1つの単語がどこで停止し、他の単語がどこで始まるかがわかるように、いくつかのコーディングが必要です）。

チューリングマシンは一言で表すことができます。

すべての決定可能性の問題と同様に、 $H_{TM}$単語のセットです。より正確に、$H_{TM}$ 次の形式の単語がすべて含まれています $\langle M,w \rangle$ どこ $M$ チューリングマシンです $w$ 任意の単語であり、 $M$ 入力で実行すると停止します $w$。

これは、最小限の記号/数学言語による停止問題の単純/非公式の定義です。最初に、チューリングマシンについて考えます。チューリングマシンは、状態テーブルに基づいて（プログラミングによって）さまざまな問題を解決します。

現在、チューリングマシンへの入力と同様に、チューリングマシン自体の状態テーブルを文字列としてエンコードできます。今仮想マシンを考えます${TM}_H$ マシンの状態テーブルのエンコードペアを受け入れる $M$、および入力文字列 $w$： $\langle M, w \rangle$。これを仮定します$TM_H$ 入力差分（もしあれば）マシンを受け入れる $M$ 入力で停止 $w$。チューリングの有名な停止問題の証明（1936）により、${TM}_H$ つまり、この「問題」は計算不可能です。

の $H_{TM}$あなたが説明するのは、セット/言語メンバーシップの観点から、この同じ問題の説明です。文字列がセットに含まれています$H_{TM}$ iff $M$ 止まる $w$。