インクリメンタルな強連結コンポーネント

変化する有向グラフについて、強く接続されたコンポーネントに関する情報を維持したいと思います。グラフ操作はインクリメンタルです。頂点の追加とエッジの追加のみです。これらの操作で最もよく知られている償却済みの複雑さを実現するデータ構造はどれですか。

グラフが無向の場合、答えはunion-find構造になります。また、無向グラフは有向グラフの特殊なケースと見なすことができるので、（少しでも）超定数の下限が引き継がれます。

線形の上限の場合、強連結成分は、データをまったくリサイクルせずに、エッジを追加するたびに最初から計算できます。もっと上手にできる方法があるのか​​な。

これが必要な状況では、どういうわけか、重要なSCCはルールではなく例外であることを期待しています。そして、サイクルの不在の中で、私は合計で線形時間を達成することができます（つまり、操作ごとの一定時間の償却）[編集：]どういう意味かを明確にしましょう。もちろん、不在のサイクルでは、SCCを追跡する必要はまったくありません。償却された一定の時間は、SCCを心配する以外に、私の設定で行うことです。

したがって、一般的には、上記の上限よりは良くないが、グラフがDAGのままである限り、操作ごとに一定の償却時間を使用するデータ構造にも関心があります。

私の知る限り、デクリメンタルな強連結成分の最良のアルゴリズムは、[1]で次のように提示されています。$O(m \sqrt{n} \log n)$ 予想される合計更新時間。

[1]Õ（m√n）合計更新時間における減少する単一ソースの到達可能性と強く接続されたコンポーネント-Shiri Chechik、Thomas Dueholm Hansen、Giuseppe F. Italiano、JakubŁącki、Nikos Parotsidis- https: //ieeexplore.ieee.org / document / 7782945 -FOCS 2016

更新：減分SCCの新しい最良のアルゴリズムは $O(m (\log n)^4)$ [5]で提示

[5]ほぼ線形の時間で減少する強く接続されたコンポーネントと単一ソースの到達可能性-Aaron Bernstein、Maximilian Probst、Christian Wulff-Nilsen- https: //arxiv.org/abs/1901.03615-STOC 2019で承認

インクリメンタルに強く接続されたコンポーネントの最適なアルゴリズムは、[2]で提示されています。$O(m^{1/2})$ エッジごとの更新時間。

[2]インクリメンタルサイクルの検出、トポロジーの順序付け、および強力なコンポーネントのメンテナンス-Bernhard Haeupler、Telikepalli Kavitha、Rogers Mathew、Siddhartha Sen、Robert Endre Tarjan- https: //arxiv.org/abs/1105.2397-2012 ACM Trans。アルゴリズム

これら2つの問題をより早く解決できるかどうかは未解決の問題です。

以下のために完全に動的な強連結成分条件下限が知られています。最悪の場合の下限は、減分/増分の強連結成分の保守でも知られています。詳細については、[3]および[4]を参照してください。

[3]オンラインの行列-ベクトル乗算予想による動的問題の硬度の統一と強化-モニカヘンジンガー、セバスチャンクリニンガー、ダヌポンナノンカイ、サッチャホルサラーヌラック-https : //arxiv.org/pdf/1511.06773.pdf-STOC 2015

[4]人気のある推測は、動的問題の強い下限を意味します-Amir Abboud、バージニア州Vassilevska Williams- https: //arxiv.org/pdf/1402.0054.pdf-FOCS 2014

これらの結果はすべて、一般的なグラフに当てはまります。平面グラフでは、より良い結果が得られます。

DAGについて言及した結果はよく知られています。

パス検索データ構造の償却効率-GF Italiano- https: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397586900988-TCS 1986