正方形のユニークなタイル

私たちは、タイルにしたい：2つのタイルの種類使用して-square -squareタイルと、すべての根底にある広場が重ならずに覆われているように-squareタイルを。二乗と任意の数の二乗を使用して、一意に耕作可能な最大の正方形のサイズを与える関数を定義します。 $m\times m$ $1 \times 1$ $2 \times 2$ $f(n)$ $n$ $1\times 1$ $2 \times 2$

この関数は計算可能ですか？アルゴリズムとは何ですか？

EDIT1：スティーブンの答えに基づいて、ユニークなタイリング手段配置する一つの方法があることをの内側-squaresをの位置のためのユニークな構成で-square 内部-squares -平方。 $2 \times 2$ $m \times m$ $n$ $1 \times 1$ $m \times m$

computability combinatorics

— ムハンマドアルトルキスタニー
ソース

固有のティリングはどのように定義されていますか？たとえば、4つの対称ティリングがある場合があります。彼らはユニークなのでしょうか？

— Paresh 2013

対称タイリングは1つの構成としてカウントされます。

— Mohammad Al-Turkistany

使用して

1×1の正方形を使用してか、せいぜい

？それ以外の場合、

は常に定義されているわけではありません。面積が

あり、2は4を法とする2次剰余ではないため、2

1タイルと任意の数の2

2タイルで正方形を並べることはできません。また、対称性によって、二面体グループ

を意味しますか？

n

$n$

n

$n$

f

$f$

4 x + 2

$4x + 2$

D_{4}

$D_4$

— Sasho Nikolov、2013

OK。これらの場合、

定義します。二面角グループD4についてはよく知りません。

f (n) = 0

$f(n)=0$

— Mohammad Al-Turkistany

私は途方に暮れてまだだ怖い-例は行くだろう長い間、おそらく、理解を支援への道を。与えられた答えはどのように質問に答えないのですか？

— Steven Stadnicki 2013

これは、非正方形にはそのようなユニークなタイリングが存在しないというコメントで私の推測を証明するための引数です。コメントでSashoによって示さとしてまず、、制限されなければならないこのようなタイリングが存在しないので、もし又は $n\gt 5$ $n$ $n\equiv2$ 。場合完全正方形である次に明らかにように正方形、一意にタイル化され明らかに、これらの場合に非ゼロの定義とされます。議論を完了するために、つ以上のタイルを含むタイリングが一意であってはならないことを示すだけです。 $3\pmod 4$ $n$ $n=k^2$ $k\times k$ $f(n)$ $1$ $2\times 2$

まず、ケース考える、と言う。タイルを使用して正方形のタイリングがある場合、明らかには偶数でなければなりません。たとえば、です。次に、タイルのタイリングを作成し、これらのを4つのタイルの「ブロック」に置き換えることで、タイリングを構築できます。異なる置換が、の場合を除いて、常に異なるタイリングを引き起こす可能性があることは明らかです。 $n\equiv 0\pmod 4$ $n=4k$ $m\times m$ $n\ 1\times 1$ $m$ $m=2j$ $j\times j$ $2\times2$ $k$ $1\times 1$ またはここでは、つのタイルが1つあるか、4つのブロックが1つ残っています。ただし、これらの場合には、つのタイルをコーナーではなくエッジの中央に配置する、同等ではない別のタイリングがあります。 $m=4, n=12$ $m=4, n=4$ $2\times 2$ $2\times 2$

最後に、仮定、特にと仮定します（場合は、次の引数が通過するために正方形に「十分なスペースがない」というわずかなケースを防ぐため）。次に、サイズ以下の正方形を一意にタイル化することはできません。正方形の上部を横切り、正方形の右を下るタイルのタイルを考えます（追加のタイルはたった今だけ）右側に-それらは引数に影響を与えることはできません）。今、 $n\equiv 1\pmod 4$ $n=4t+1$ $t\gt 1$ $(2t+1)^2$ $1\times 1$ $1\times 1$ 左上角の（二成るにおける「ブロック」上のタイルと、それらの下にタイル）は、必ずしも異なるであろうタイリングを生成するために「反転」させることができます作成したタイリング。最後に、より大きいサイズの何乗、全てのタイル化することはできません。私たちはタイルのサイズの平方しようとしていると仮定するために ; 次に、鳩の巣の原理により、超えることはできません $2\times 3$ $1\times 1$ $2\times 2$ $(2t+1)^2$ $(2s+1)^2$ $s\gt t$ 正方形にタイル、つまり正方形が残っているが、、、数 $s^2\ 2\times 2$ $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$ $s\gt t$ $4s+1\gt 4t+1=n$ $1\times 1$ 私たちが利用できるタイル。

したがって、存在する唯一の一意のタイルは、タイルをまったく使用しないタイルであり、は、が正方形の場合にのみ非ゼロになります（この場合、と等しい） $n\gt 5$ $2\times 2$ $f(n)$ $n$ ）。 $\sqrt{n}$

— スティーブン・スタドニッキ
ソース

n = 4 t + 1

$n = 4t + 1$

x^{2} < (2 t + 1)^{2}

$x^2 < (2t + 1)^2$

x \equiv 1

$x \equiv 1$

x \equiv 3 (\mod 4)

$x \equiv 3 \pmod 4$

2 x - 1 \equiv 1 (\mod 4)

$2x - 1 \equiv 1 \pmod 4$

n^{'} \equiv 0 (\mod 4)

$n' \equiv 0 \pmod 4$

n^{'} = 0

$n' = 0$

x = 2 t + 1

$x = 2t + 1$

有効な一意のタイリングでは、両方のタイプのタイルを使用する必要があります。私の質問でそれをはっきりと述べていないのは申し訳ありません。

— Mohammad Al-Turkistany

n > 5

$n>5$

n = 5

$n=5$

2 \times 2

$2 \times 2$

m \times m

$m \times m$

@スティーブン、あなたの答えは元の質問を解決しますが、それは私が質問を提起する動機となったものではありません。私はprevoiusコメントでそれを説明したようにあなたが質問を修正することによって気にされないことを望みます。

— Mohammad Al-Turkistany