大きな

まず、物事を明確にするために、大きなの定義を書いてみましょう $O$ 。

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ ように $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

有限数の関数があるとしましょう： $f_1,f_2,\dots f_n$ 満足：

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

推移によって $O$ ：、我々は持っている $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

我々は無限の連鎖がある場合は、この保留はありません $O's$ ？換言すれば、ある $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$ ？

何が起こっているのか想像できません。

asymptotics landau-notation

— サーダーメ
ソース

回答:

最初に、「無限のチェーンがある場合、これが成り立つか」という意味を明確にする必要があります。我々は、関数の無限のシーケンスとして解釈すべてについてように、我々が持っている。このようなシーケンスには最後の機能がない場合があります。 $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

私たちは、すなわち、シーケンス内の機能の限界で見ることができ。ただし、制限が存在しない可能性があります。そして、場合であっても、それが存在していることを私たちは持っていない可能性があります。たとえば、関数のシーケンスを考えます $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ 。各について、、したがってです。しかし、従って $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ 。 $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

一方、関数の制限のクラスと等しくする必要のないクラスのシーケンスの制限を見ることができます。我々は、したがって、と $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ すべてについて。優れ制限は無限にしばしば発生するすべての要素（この場合は関数）を含み、下位限界が全てで発生するすべての要素を含んでいるいくつかのために $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ （要素に依存する場合があります）。クラスのシーケンスは単調に増加するため、両方が存在し、それらは等しくなります。これはの使用を正当化します。 $\lim$

— フラフル
ソース

2つのシリーズがあります：関数の1つ（収束する場合も収束しない場合もある）およびセットの1つ（各セットは前のセットのスーパーセットです。これがこのシリーズが収束する理由です。セットのlim infおよびlim supの定義を参照）。最初の部分はせずに質問に答える

の部分、第二部は答え

（あれば負の部分を

ライムのいくつかの並べ替えです）。

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

用語の数が数えられない場合はどうなりますか？:)

— SamM

いくつかの適切な順序を使用するか、シリーズをより連続したものに置き換えますか？:)

— frafl

@Kavehどうもありがとう、今ではとても意味があります。制限の使用とそのlim infの意味を正当化できれば、それで私の理解は完了します。

— saadtaame

@saadtaame：たぶん、それは上の質問がまだあなたが知りたいことを聞かないからでしょうか？私の記憶が正しければ、あなたは追加

のでコメントのがそれを示唆しました。コンテキストを提供すると、誰かが再び質問を言い換えることができます。

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

はい、無限の連鎖を持つことは可能です。

私はあなたがすでにいくつかの例に精通している：あなたがここに無限のチェーン持っている：成長度の多項式を。さらに先に行くことができますか？承知しました！指数関数は、どの多項式よりも速く（漸近的に言えば）成長します。

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

そしてもちろん、あなたが続けることができます

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

他の方向にも無限のチェーンを構築できます。もし、次いで $f = O(g)$ （正の関数にこだわる、この辺では複雑な関数の漸近性について議論しているため）。たとえば、次のとおりです。 $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

$f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ 無制限とすることができます。しかし、私たちは漸近的な成長に興味があるだけなので、小さく始めて徐々に成長するのに十分です。有限数の関数で最大値を取ります。 $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

。

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— ジル「SO-悪をやめろ」
ソース

この答え（あなたと他のもの）はすべて、無限に起こることを知っていると仮定しており、私には満足できない、OPについては知らない（無限のサイズの閉じたグループを持ってはいけない理由）？）

@SaeedAmiriごめんなさい、あなたのコメントを理解していません。「無限で何が起こるか知っています。彼らは私には満足できません」とはどういう意味ですか？

— ジル 'SO-悪であるのをやめる'