ソートに関する興味深い問題

番号付きのボール（ランダム）が付いたチューブを考えます。チューブにはボールを取り除くための穴があります。1つの操作について次の手順を検討してください。

1. 穴から1つまたは複数のボールを選択し、ボールを選択した順序を覚えておくことができます。
2. パイプを左側に傾けて、パイプ内の残りのボールが左側に移動し、ボールを取り除いてできた空のスペースを占有する必要があります。
3. 番号の付いたボールをパイプから選んだ順序を変更することは想定されていません。ここで、ボールの動きによって作成された空いているスペースを使用して、再びパイプに戻します。

手順1〜3は1つの操作と見なされます。

番号の付いたボールを昇順に並べ替えるのに必要な最小限の操作を見つけます。

例：チューブに次が含まれる場合：$[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

次にととを取り出し、パイプを左に傾けるとを取得し、パイプの最後にをこの順序で挿入して取得します。$4$$5$$6$$[1\ 2\ 3]$$(4\ 5\ 6)$$[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$

したがって、必要な最小ステップ数は1です。パイプをソートするための最小操作を見つける必要があります。

この問題を解決する方法に関するアイデアやヒントはありますか？

以下のプロセスを使用して、で表される置換の実行パーティション番号を定義します。レッツR （π ）分（π ）、··· 、K π π R （π $\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

たとえば、計算してみましょう。私たちは、最初に確保さを取得するために、。それからを確保して、を取得します。次に、を確保してを取得します。最後に、を確保して空の順列を取得します。これには4ラウンドかかるため、です。1 6273584 234 6758 5 678 678 r （62735814 ）= $r(62735814)$$1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$

この表現はソートにどのように役立ちますか？2回ごとに実行（つまり、これらの数値を右に移動してを取得し（編集：順列に表示される順序（つまり））。これで、2つの実行、つまりのみが実行され、を右に移動してリストをソートできます。234 、678 51627384 627384 1234 、5678 $62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$

ここで、次の推測を行ってみましょう。置換場合、 1回の移動でから到達可能なすべての置換のセットとします。次に。Π π 分α ∈ Π R （α ）= ⌈ R （π ）/ 2 $\pi$$\Pi$$\pi$$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

この推測を考えると、動きの最小数は、順列ソートするために必要なことを示すことは容易であるある、と私はすべての順列のために、この公式を確認したのため。⌈ ログ2 R （π ）⌉ S N N ≤ $\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$$n \leq 8$

編集：実行パーティション番号の異なる解釈があります。これは、それを計算する線形時間アルゴリズムを提供し、私の推測の証明をスケッチして、式を検証できます。$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

並べ替えもう一度考えてください。で最初の実行が終了するその理由の点である前に表示されます。同様に、第二ラン端以来表示される前になど。したがって、順列の実行パーティション番号は、の前にが現れるようなの数です。1 2 1 4 5 4 i i + 1 $62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$$i+1$$i$

順列の逆を見ると、これをもっと簡潔に述べることができます。もう一度検討してください。テイク。この順列には3つの降下があります：（降下は前の位置よりも小さい位置です）。各下降は、新しい実行の開始に対応します。したがって、は、1にの降下数を加えたものに等しくなります。π - 1 = 72485136 7 2 48 5 1 36 R （π ）π - $\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

に関して、操作はどのように見えますか？聞かせて、我々は右に移動し、その数字の集合左に滞在その数字の集合とします。我々は数値置き換える上の順列とそれらの相対的な順序を表す、との数字を交換上の順列で。たとえば、移動。逆順列に関しては、です。だからにマッピングされた B A A { 1 、... 、| A | } B { | A | + 1 、… 、| A | + | B | } 6273 5 8 1 4 ↦ 51 627384 7 248 5 136 ↦ 2 468 1 357 75 21 248136 $\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$$\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$$7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$$75$$21$そしてにマッピングされた。$248136$$468357$

の下降は、および場合にのみ操作後に失われます。逆に、に関しては、とへのパーティションは -runsと -runsに対応します。ランが終了してランが開始されるたびに、下降があります。降下を「殺す」ためには、 -runから -run に切り替える必要があります。我々は2つの下りを殺した場合、我々はから途中で切り替えていますに-run降下を被る、-run。π - 1のx ∈ A Y ∈ B π - 1 A B A B B A A B B $\ldots xy \ldots$$\pi^{-1}$$x \in A$$y \in B$$\pi^{-1}$$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$B$$B$$A$

この引数を形式化して、演算を介してから発生する場合、を示すことができます。は、降下の数です。これはと同等であり、私の推測の一方向を証明しています。もう一方の方向はより簡単で、すでに上で概説しました：単に2回実行し、これらの実行を右にプッシュして、を満たす順列を取得します。π D （α - 1）≥ ⌊ D （π - 1）/ 2 ⌋ D （⋅ ）R （α ）≥ ⌈ R （π ）/ 2 ⌉ α R （α ）= ⌈ R （π / 2 ）$\alpha$$\pi$$d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$$d(\cdot)$$r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$$\alpha$$r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$