カテゴリとセットの意味上の違いは何ですか？

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この質問では、setとtypeの違いは何かを尋ねました。これらの回答は本当に明確になっているため（たとえば、@ AndrejBauer）、知識への渇望の中で、カテゴリについて同じことを尋ねる誘惑に服します。

カテゴリ理論（確かにかなり非公式です）について読むたびに、それが集合論と具体的にどう違うのか本当に理解できません。

したがって、可能な限り最も具体的な方法では、と言うのと比較して、カテゴリにあると言うことはについて正確に何を意味し ますか？（例えば、がグループであると言うことと、がカテゴリーと言うことの違いは何ですか？） $x$ $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

（比較を最も明確にする任意のカテゴリとセットを選択できます）。

sets category-theory

— ユーザー56834
ソース

この質問が正しい形式であるかどうかはわかりません。最初に、「xはカテゴリCにある」と「xはセットSにある」と言うことの違いは何ですか。しかし、次に、「xはカテゴリGrpにある」と「xはグループである」の例を示します。何？それはあなたの質問の例ではありません。あなたの質問の例は、「xはカテゴリGrpにある」と「xはすべてのグループのセットにある」の違いは何かを尋ねることです。しかし、それでも、カテゴリとセットの違いを尋ねているのかどうかは、実際に尋ねていることではありません。

— Miles Rout 2018

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簡単に言えば、集合論はメンバーシップについてであり、カテゴリー理論は構造を維持する変換についてです。

集合論は、メンバーシップ（つまり、要素である）と、それに関して表現できるもの（たとえば、サブセットである）についてのみです。要素やセットの他のプロパティには関係しません。

カテゴリ理論は、特定のタイプ^1の数学的構造を、構造のいくつかの側面を保存する関数によって、どのように互いに変換²できるかを説明する方法です。数学構造のさまざまなタイプ¹（グループ、オートマトン、ベクトル空間、セット、トポロジー空間など、さらにはカテゴリー！）とそれらのタイプ¹内のマッピングを話すための統一言語を提供します。構造間のマッピングのプロパティを正式化しますが（実際には、構造が課されているセット間）、マップと構造の抽象的なプロパティのみを扱い、射（または矢印）とオブジェクトを呼び出します; そのような構造化されたセットの要素は、カテゴリー理論の問題ではなく、それらのセットの構造でもありません。あなたは「それは何の理論か」と尋ねます。これは、任意のタイプの数学的オブジェクトの構造保持マッピングの理論です¹。

ただし、抽象カテゴリ³の理論では、前述のように、問題のオブジェクトの構造を指定するセット、演算、関係、公理を完全に無視し、そのような構造を維持するマッピングについて説明するための言語を提供します動作：保存されている構造を知らなくても、そのような2つのマップの組み合わせでも構造が保存されることがわかります。そのため、カテゴリー理論の公理では、射に連想合成法があり、同様に、各オブジェクトからそれ自体に恒等射があることが必要です。しかし、それは射が実際にいることを前提としていないです、彼らはちょうどことを、セット間の機能振る舞う彼らのように。

解決策：コンクリートカテゴリは、「基本カテゴリ」のオブジェクトに構造を追加するというアイデアをモデル化しています。これが場合、グループ操作のような構造をセットに追加する状況になる可能性があります。この場合、特定の基本カテゴリの観点から、構造がどのように追加されるかについてさらに説明する必要があるかもしれません。 $\mathsf{Set}$

処方の意味については、「はグループ」、「はグループのセットの要素」（実際には適切なクラス）、「は（オブジェクト）」（または「オブジェクト」）は論理的に同じことを意味しますが、カテゴリについて話すと、グループの準同型（射）に興味があり、おそらく他の射との共通点に興味があることがわかります。一方、 $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ は、グループ（その乗算演算）自体の構造、またはグループが他の数学オブジェクトにどのように作用するかに関心があることを示唆しているグループです。あなたはについて話しそうだろうあなたが簡単に書くことができるものの、グループのセットに属する、いくつかの特定のセットのためにあなたに興味を持っているグループの。 $G$ $G ∈ S$ $S$

こちらもご覧ください

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- 特に/math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
抽象的および具体的なカテゴリー：アダメク、ヘルリッヒ、ストレッカーによる猫の喜び
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{こことパッシムでは、タイプ理論の意味でタイプを参照するのではなく、数学的オブジェクト/構造に必要な一連のプロパティ、つまりそれらが満たす公理のセットを指します。通常、これらは、構造を運ぶと見なされるセットの要素に対するいくつかの操作または関係の動作を記述しますが、セット自体（）の場合、セット自体を超える構造はありません。いずれにせよ、前述のように、カテゴリー理論はこの構造の詳細を無視します。 $\mathsf{Set}$}

² _{私は、おそらく言うべきすべてにまたは一部互いの一から準同型を可能（整数）に（有理数）によって与えられる $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ 。 $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{資格なしでは、「カテゴリ」は通常、「抽象カテゴリ」を意味し、私が見る限り、1945年に導入され、1960年代に開発され、コンクリートカテゴリは1970年代に登場したようです。}

— PJTraill
ソース

それが修辞的であったかどうかはわかりませんが、適切なクラスのグループが確かにあります。たとえば、すべてのセットは、そのセットを含むシングルトンセットで簡単なグループを生み出します。非同型の例の適切なクラスを生成することもできます。

— Derek Elkinsが

ありがとうございました。「それは任意の型の数学的オブジェクトの構造保存マッピングの理論である」と言うとき、型理論の意味で「型」を意味しますか、それとももっと非公式ですか？

— user56834

@ Programmer2134：タイプが紛らわしい場合は申し訳ありません（私は疑問に思いました）。私はタイプ理論（私はほとんど知りません）を指すことを意味するのではなく、特定のタイプの数学オブジェクト/構造による特定のプロパティセット（つまり、特定の公理を満たす）を持つ数学オブジェクト/構造を意味します。

— PJTraill 2018年

それは明らかにします。それで、カテゴリー理論はまた、そのような公理があり、これらのオブジェクトはすべてそれらの公理を満たすと仮定しているのでしょうか？

— user56834

@ Programmer2134：いいえ、カテゴリ理論は公理を完全に無視し、そのような構造を保持するマッピングについて話すための言語を提供します。どの構造が保持されるかを知らなくても、そのような2つのマップの組み合わせも構造を保持することがわかります。そのため、カテゴリー理論の公理では、射に連想合成法があり、同様に、各オブジェクトからそれ自体に恒等射があることが必要です。しかし、それはないない射が実際にあることを前提としている彼らはちょうどことを、セット間の機能振る舞う彼らのように。

— PJTraill

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カテゴリー理論はある意味で集合論の一般化です。カテゴリーは集合のカテゴリーである場合もあれば、別のものである場合もあります。だから、あなたは学ぶより少ないあなたがそれを学ぶ場合あなたがすることを学ぶ場合よりも、いくつかの不特定カテゴリ内のオブジェクトであり集合（後者の場合には、それ以下のため、あるセットの特別カテゴリ内のオブジェクトです）。あなたはそれを学ぶ場合内のオブジェクトである特定の（セットのカテゴリ以外の）指定されたカテゴリ、何を学ぶことはことを学ぶと異なる集合である（すなわち、セットのカテゴリ内のオブジェクト）。どちらも他方を意味しません。 $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

がグループであると言っても、がカテゴリGrpのオブジェクトであると言っても違いはありません。これら2つのステートメントは同等です。 $x$ $x$

注：がGrpカテゴリにあるとは言いません。はカテゴリGrpのオブジェクトであると言います。カテゴリにはオブジェクトと矢印の両方があります。話していることを指定する必要があります。 $x$ $x$

— DW
ソース

@AndrejBrauerが他の質問への回答で行ったように、カテゴリとセットおよびタイプを比較してみましょう。セットは、オブジェクトのコレクションの概念を形式化します。タイプは、オブジェクトの構築の概念を形式化します。「Category」はどのような概念を正式化していますか？カテゴリ理論と理論の数学的プロセス/構造は何ですか？

— user56834

「そのため、

が特定のカテゴリのオブジェクトであることがわかった場合、

がセットであることがわかった場合よりも、学習することが少なくなります。」「is a set」を「is is a member of some unspecified set」に置き換えると、そのステートメントはどのように変わりますか？未指定のカテゴリのオブジェクトであると言うことで、

何らかの制限を課しますか？確かに、その

が唯一のオブジェクトであるカテゴリを形成することができますか？

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134、それは良い点です。理にかなっています。あなたの意見を受け入れます。

— DW

4

DWの説明のさらなるポイント

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

より強力な発言をしたいと思います。

コンセプトはそのカテゴリによって定義されます

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

それができたら、カテゴリは概念の多くのデフォルトプロパティを提供します。例の範囲

"どのインスタンスは本質的に同じ---同型である"、
"これら2つのインスタンスのどちらが多く、どちらが少ないか---セクションとリトラクションのペア"、
「このインスタンス内には基本要素がいくつありますか？---端末オブジェクトからのhomset」

等々。

コメントで尋ねる質問は

カテゴリー理論は理論のどのような数学的プロセス/構造ですか？

$\mathsf{Cat}$

— アピワットチャンタウィブル
ソース

うーん。構造のカテゴリを知っている場合、その構造に関するすべてをどのように知っているのか、正確にはわかりません。構造がどの公理を満たすかわかりませんか？

— user56834

@ Programmer2134 Tom Leinsterによる集合論の再考（Lawvereによる研究の要約）が良い例です。作品は、セットのカテゴリの（射）のプロパティを定義することにより、セット理論自体を定義します（オブジェクトに「内部」にアクセスせずに、セットについての既存の仮定にアクセスしません。）

— Apiwat Chantawibul

それで、あなたは、その公理を忘れている間、集合のカテゴリーを考えるだけで集合理論について何の情報も失われないと言っているのですか？

— user56834

@ Programmer2134はい、実際、ZFCセット理論を定義する公理は、純粋に射の性質に変換されたようです。したがって、私たちが断言するカテゴリーは射にいくつかの特性を持ち、集合論を定義します。

— Apiwat Chantawibul

カテゴリ理論に関するこの点を明確に説明するテキストを知っていますか？

— user56834

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セット

バツ \in あ

$x\in A$

$f$

（ バツ 、 y ） \in f そして （ バツ 、 z ） \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

哲学。セットには内部構造があり、要素によって完全に決定されます。

リマーク。セット理論家が広く使用している公理システムはZFCです。その強みは単純さです。セットとメンバーシップ関係のみがあります。一方、多くの数学者は、これが集合の理解と使用から逸脱する集合概念につながると感じています（以下のLeinsterと比較してください）。実際、大多数の数学者（集合論者を除く）はZFCの公理を使用していないようです。ただし、セットは必ずしもZFCを指すとは限りません（以下のカテゴリとETCSを参照）。

カテゴリー

あ \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

バツ ： 1 \to あ

$x:1\rightarrow A$

哲学。カテゴリのオブジェクトには、事前に内部構造はありません。それらは、他のオブジェクトとの関係（射）によって特徴付けられるだけです。

リマーク。カテゴリーの基本概念は関数であり、これは大多数の数学者による集合の使用と一致します。したがって、カテゴリは、非常に異なる分野の（ほとんどの）数学者が日常業務でセットを使用する方法を概念的に一般化したものと見なす場合があります。汎化としてのカテゴリー（およびポーズ）とは別に、集合を公理化する公理システムETCS（LeinsterとLawvereの下を比較）を見てください。

質問。xがグループであると言うことと、xがカテゴリーGrpであると言うことの違いは何ですか？

$x$ $x$

批評家

ZFCとETCSの場合、これらのアプローチは相互に変換できますが、ETCSはZFCよりも弱いですが、（おそらく）ほとんどの数学をカバーしています（MathStackExchangeおよびLeinsterを参照）。原則として（ETCSの拡張を使用して）両方のアプローチで同じ結果を証明できます。したがって、上記の両方の概念の哲学は、何を表現できるか、またはどのような結果を証明できるかという根本的な違いを主張するものではありません。

ZFC の式セットとメンバーシップは、カテゴリーや他の公理システムの概念と同じように抽象的な概念であり、何を意味することもできます。したがって、この形式的な観点から、ZFCはセットの内部構造に関係しているのに対し、カテゴリーはオブジェクトの相互の外部関係を扱うのは不適切であると主張します。一方、これは関連する理論の哲学または直感のようです。

ただし、実際には、特定のアプローチを使用することをお勧めします。たとえば、明快さや単純さのため、または一部の概念や別の領域への接続が他の場所よりも自然に進化するためです。

参考文献

科学者のためのSpivak.Category理論

レンスター集合論の再考

セットのカテゴリーの基本理論

セットなしのMathStackExchange.Category理論

— FWE
ソース