開始するには、セットとタイプは同じ分野にさえありません。セットは、ZFCセット理論などの1次理論のオブジェクトです。型は生い茂ったソートのようなものです。別の言い方をすれば、集合論は一次論理内の一次理論です。型理論は、論理そのものの拡張です。たとえば、Martin-LöfType Theoryは、1次論理内の1次理論としては提示されません。セットとタイプについて同時に話すことはそれほど一般的ではありません。
Discrete lizardが述べているように、タイプ(およびソート)は構文上の機能を果たします。ソート/タイプは構文カテゴリとして動作します。どの式が整形式かを知ることができます。ソートを使用した簡単な例として、任意のフィールド上のベクトル空間の理論を2ソート理論として説明したとしましょう。スカラーのソートとベクトルのソートます。他の多くのものの中で、我々はスケーリングのための操作を持っていると思います:。これにより、は単純に整形式の用語ではないことがわかります。型理論のコンテキストでは、ような式ではに型が必要ですV s c a l e:S × V → V s c a l e(s c a l e(s 、v )、v )f (x )f X → Y X Y f f (x )(x :X )SVscale:S×V→Vscale(scale(s,v),v)f(x)fX→Yいくつかのタイプのと。関数の型がない場合、は単純に整形式ではありません。式が何らかの種類のものであるか、ある種の型を持っているかは、メタ論理ステートメントです。ような記述は意味がありません。まず、は単に式ではありません。次に、ソート/タイプがどの式が整形式かを知らせるものなので、概念的にも意味がありません。整形式の真理値のみを考慮しているため、何らかの式が成立するかどうかを検討する頃には、整形式であることをすでによく知っています!XYff(x)x :X(x:X)⟹y=3x:X
集合論、特にZFCでは、唯一の非論理記号は集合メンバーシップの関係記号です。したがって、は、真理値を持つ整形式です。変数以外の用語はありません。集合論の通常の表記はすべて、これを定義的に拡張したものです。たとえば、ような式は、省略形と見なされることが多くそれ自体は省略形と見なされますための速記これは
任意の速度で任意のセットが取ることができますの場所とすべてがセットです!X ∈ Y F (X )= Y (X 、Y )∈ F ∃ P 。P ∈ F ∧ P = (X 、Y )∃ P 。P ∈ F ∧ (∀ Z 。Z ∈ P∈x∈yf(x)=y(x,y)∈f∃p.p∈f∧p=(x,y)F π (7 )= 3 πのF (X )= { N、もし X = 1 7 、もし X = Q X ∩ R R、もし X = (Z、N)
∃p.p∈f∧(∀z.z∈p⟺[z=x∨(∀w.w∈z⇔w=y)])
f私はで指摘したように
別の質問、最近実数であるが、完全に合法的で意味のある(および潜在的にも真)で理論式を設定します。基本的に、あなたが書いた集合論で解析するものにはなんらかの意味を与えることができます。それは完全に偽の意味かもしれませんが、一つあります。セットは、セット理論の「ファーストクラス」オブジェクトでもあります。(通常は、それらが
唯一のオブジェクトであるため、より適切です。)ような関数
π(7)=3πf(x)=⎧⎩⎨N,7,x∩RR,if x=1if x=Qif x=(Z,N)
は集合論における完全に正当な関数です。型理論には、これに少しでも似たものはありません。最も近いのは、タルスキアン宇宙のコードを使用することです。集合は集合論の対象です。型は型理論の対象ではありません。
型は物の集まりではなく(どちらもそのためのセットではありません...)、プロパティによって定義されていません。タイプは、そのタイプの用語に適用可能な操作と、どの式が整形式かを知ることができる構文上のカテゴリです。命題としての命題の観点から、どのタイプが分類されているかは、そのタイプが対応する命題の有効な証拠です。つまり、特定の型の整形式(つまり、型付きの)用語は、対応する命題の有効な証明(構文オブジェクトでもあります)に対応します。集合論ではこのようなことは起きていません。
集合論と型論は実際には似たようなものではありません。