線形時間での有向非循環グラフのソースの検索

有向非巡回グラフ与えられた場合、頂点のは、その次数がゼロの場合のソースであり、出力アークのみを持つことを意味します。$D = (V,A)$$v \in V$

与えられた有向非巡回グラフでソースを見つけるための線形時間アルゴリズムはありますか？

追加質問：線形時間ですべてのソースを見つけることができますか？

Yuvalが述べているように、データ構造はここで重要です。いくつかの種類の隣接リストの解決策を提供しようと思います。

1. 着信エッジリスト：各ノードには、このノードへの着信エッジがある頂点のリストがあります。すべての頂点をスキャンして、隣接リストのサイズが かどうかを確認するだけです。サイズ0のリストは着信エッジがないことを意味するため、ノードはソースであるか、切断されています。連結グラフを仮定すると、各頂点のこのスキャンはあなたのリストに与えるすべてのソースを（またはあなたが1見つけた後に停止することができます）でO （| V |）時間-数の線形頂点を。$0$$0$$O(|V|)$
2. 発信エッジリスト：各ノードには、このノードからの有向エッジがある頂点のリストがあります。各ビットが0に初期化された頂点を表すビット文字列を保持します。最初のノードから開始して、リストのスキャンを開始して、そこから出て行くエッジがある頂点を探します。そのようなすべてのノード（隣接ノード）をソースにすることはできないため、対応するビットをビット文字列に設定し続けます。最後に、対応するビットがまだ設定されていないすべての頂点がソース頂点です。あなたは、線形時間でこれを行うことができ、グラフの大きさ - 。$O(|V| + |E|)$
3. 両方のリストを一緒に：各頂点について、この頂点への、またはこの頂点からのエッジを持つ頂点の混合リストがあり、他の属性が2つのうちどちらが実際に当てはまるかを示します。このアプローチは上記の2に似ていますが、すべての入力エッジが現在の頂点を直ちに除外します（ビットセットをマークできます）。すべての頂点を通過する必要があるポイント2とは異なり、ここでは、ソースが早く見つかるかもしれません。止めなければ、すべてのソースが手に入ります。両方の場合のために、時間が線形再びグラフの大きさ - O （| V | + | E |）。$O(|V| + |E|)$
4. 両方のリストを個別に：着信エッジリストを選択して、1を実行します。

補足として、データ構造を選択する場合は、実行するすべての操作と頻度を分析し、適切なデータ構造を選択する必要があります。

編集：ケース1の場合、ソースの数が|に比べて非常に少ないDAGがある場合 V | （たとえば、1つのソースを持つツリー内）、および任意の頂点からソースまでの平均距離が|に比べて小さい場合 V | そしてあなたが唯一のいずれかのソースをしたい、あなたは（最悪の場合漸近複雑さが同じになりますが）平均アルゴリズムに速く使用することができます。任意の頂点をランダムに選択し、その親のいずれかに（入力エッジリストから）移動し、さらにその親に移動して、親のないノード（ソース）に到達するまで続けます。このわずかな効率向上は、アルゴリズムが少し複雑な非常に限られたタイプのグラフ用です。$|V|$$|V|$

$O(|V|-1)$

隣接リスト形式で与えられたグラフG =（V、E）があると仮定します。（ここで明確にするために、リストにはソースからのすべての発信エッジが含まれています）。線形時間でグラフGの逆を作成できます。次に、逆グラフを反復処理して、空の隣接リストを持つすべての頂点を収集できます。これらの頂点には、逆グラフに出力エッジがありません。つまり、元のグラフに入力エッジがないため、これらはソース頂点です。

実行時間は線形です。グラフの逆を作成するには、最大でO（| V | + | E |）時間かかります。グラフの逆を繰り返すには、O（| V |）時間かかります。