自動化された定理証明器によってどのような数学の問題を解決できますか？

利用可能な自動定理証明器を使用して、次のステートメントを証明できますか？

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ 。
もし、その後、。 $11 \mid 2a-3b$ $11 \mid 7a-5b$
もし、次いで、。 $ax^2+bx+c=0$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
が偶数の場合は偶数です。 $a$ $4a$

等々！

論理の定理を証明する自動定理証明の応用を見つけたばかりなので、この質問をしています。

automated-theorem-proving

— 算数
ソース

おそらく自動ではないかもしれませんが、すべての標準証明アシスタントを使用して、これらのすべてを（おそらく3を除き、書かれているように間違っています）確実に証明できます。

— ユヴァルフィルマス

@YuvalFilmus。ありがとう！では、どのような問題を自動的に解決できますか？

— Math-fort

式は自動的に単純化できますが、これはコンピューター代数システムが提供するサービスです。現代の証明アシスタントが実質的に何かを自動的に証明できるとは思わないが、専門家に尋ねるほうがよい。

— ユヴァルフィルマス

@YuvalFilmusあなたが言うことは、自動化された証明方法が興味深い結果をもたらす場合にのみ、私たちはそれをCASの一部と呼んでもいいという意味で、しばしば真実だと思います...

— Discrete lizard

"（+ b）は^ 2 == ^ 2 + B ^ 2 + 2AB" WolframAlphaオン

— ナット

ほとんどのステートメントは初等代数であるため、これらはMapleやMathematicaなどのコンピューター代数システム（CAS）によって自動的に証明できます。

（CASの背後にある数学に興味がある場合は、フィールドの「聖書」と考えられる美しい本であるJoachim von zur GathenとJürgenGerhard の著書Modern Computer Algebraをお勧めします）

自動定理証明は、証明が最終的に解決できるアルゴリズムが存在する数少ないケースの1つではない場合、証明を表す構造に対してヒューリスティック検索を行う場合がほとんどです。このステートメントはそれほど複雑ではないことを考えると、自動化された証明者が証拠を「見つける」ことができる可能性があります。

ただし、素晴らしいアルゴリズムがあるステートメントについてもう少し言うのは興味深いと思います。

ステートメント3は（の非常に単純なケース）多項式方程式（のシステム）の根についてであり、Buchbergerのアルゴリズムでグレブナー基底を見つけることで解決できます。Gröbner基底と1つを見つけるためのBuchbergerのアルゴリズムは、自動定理証明のための非常に素晴らしいツールです。たとえば、問題を巧妙な方法で多項式の根を見つけるように自動的に変換することで、ジオメトリの基本定理を自動的に証明することさえできます！

別の興味深い定理のクラスは、量指定子のないプレスバーガー算術で表現できるステートメントです（特に、この算術は乗算なしであるため、ステートメントには適用されません）。少し遅いです。

— 離散トカゲ
ソース