特定の入力/仮定に対して計算可能な停止問題

プログラムxが停止するかどうかを計算するプログラムP（x）がある場合、Pを入力としてPを与えるとパラドックスが発生するため、停止問題は計算可能ではないという証明の理解から、この問題は計算できません。同じP、P：P（P）、Pが停止するか、P自体を使用しないかを決定しようとする

だから私の質問は：P自体以外の入力として使用される他のすべてのプログラムについて、プログラムPによって停止問題を計算できますか？言い換えると、停止の問題はこの特別な場合にのみ計算できないのですか、それとも証明がより一般的で、何かが足りないのですか？

場合任意の計算可能な関数は、であり、Gとして定義され、$f$$g$

任意の選択に対しても計算可能です。$k,v$

基本的には、プログラムがある場合を計算G （N ）すべてのためのnを除くのをN = K、することができ、 『フィックス』という場合（例えば、使用して）、別のプログラム取得Pを計算G （N ）のためのすべてのn。$P'$$g(n)$$n$$n=k$if then else$P$$g(n)$$n$

したがって、「1つの場合を除いて」停止関数を計算できれば、例外も含めて停止関数を計算できます。それから、いつものように矛盾を得ることができます。

結論：いいえ、停止問題を「1つの場合を除いて」（または「有限の多くの場合を除いて」）決定することはできません。

P以外の入力として使用される他のすべてのプログラムについて、プログラムPによって停止問題を計算できますか？

いいえ。プログラムの無限のシーケンスを考えてみましょう。ここで、P iは「頭のi  を右に移動し、次にi  を左に移動してから、Pが行うことを正確に行う」です。これらのプログラムはどれも、すべての入力に対してPとまったく同じ出力を生成し  ます（P  が永久にループする場合は永久にループすることを含みます）が、すべて異なるプログラムです。$P_1, P_2, \dots$$P_i$$i$$i$$P$$P$$P$

$P$

特定のクラスのプログラムが停止または停止しないことを示すアルゴリズムがあります。例えば、

• 有限状態マシンをモデル化するプログラムが停止するかどうかをアルゴリズムで判断できます。
• 線形制限のチューリングマシンが停止するかどうかを算術的に判断することができます。
• プログラムがどの複雑度クラスに属しているかを知っていれば、プログラムは有限入力で停止することがわかります。

任意のプログラムが停止するかどうかを判断するアルゴリズムはありませんが、大部分のコードは停止する（ほとんどのサブルーチンのように）か、停止しない（イベントを処理する無限ループのように）ように設計されており、どちらがアルゴリズムであるかを判断することが可能です。言い換えれば、「停止」、「停止しない」、または「私は知らない」のいずれかに答えるアルゴリズムを持つことができ、そのようなアルゴリズムは有用となる十分なプログラムをカバーするように設計できます。

矛盾による証拠は網羅的である必要はなく、反例は1つあれば十分です。停止の問題が決定不能であることの証明は、停止プロパティを決定できないPの1つの例を提供します。この証明は、Pがそのようなプログラムだけであるとは述べていません。実際、Pの完全に異なるクラスを構築する独立した証明が存在する可能性があります。

証明は確かにより一般的です：停止する問題はライスの定理の特別な場合であり、

$\Phi$

$A$$B$$\Phi(A)$$\Phi(B)$

$x$$x$

使用するプログラムのスペースを制限することで、いくつかの結果を得ることができますが、これらの制限はかなり厳しいものでなければなりません。たとえば、与えられたプログラムが100ステップ以内に停止するか、永久に実行されることが保証されている場合、停止するかどうかの決定は容易になります。

$N$$k$$BB(k)$

Rを再帰的に列挙可能であるが非再帰的なセットとする。そのようなセットは無限にあります。Tを、kがRにある場合にのみ入力kで停止するチューリングマシンとします。このようなTは、再帰的に列挙可能なセットに対して存在します。このTの停止問題を解決できるプログラムを作成することは不可能です。これは、Tが停止するかどうかを決定するアルゴリズムがRのメンバーシップを決定するアルゴリズムを生成するためです。そのようなRは無限に多く、それぞれが異なるチューリングマシンを提供するため、プログラムPを停止しようとすると失敗するチューリングマシンは無限に多くあります。