私は常にアルゴリズムの問題をたくさん見ています。それは常に次のような長い行に還元されます。

あなたが持っている整数配列の、あなたは見つける必要がある、このような最大化するで時間。 $h[1..n]\geq 0$ $i,j$ $(h[j]-h[i])(j-i)$ $O(n)$

明らかに時間解はすべてのペアを考慮することですが、プロパティについて他に何も知らなくても式を最大化できる方法はありますか？ $O(n^2)$ $O(n)$ $h$

私が考えた1つのアイデアはを修正することです。それから、等しいからまでのを見つける必要がありますまたはあり、が固定されているため、。 $j$ $i^*$ $1$ $j-1$ $\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$ $\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$ $j$ $\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$

ただし、内部の従属項を取り除く方法はありません。何か助けは？ $j$

algorithms algorithm-analysis optimization

— AspiringMat
ソース

ウィルソリューションが役に立ち？

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— xskxzr 2018

@xskxzrあるかどうか確認してください

— AspiringMat

これは $O(n\log n)$ ソリューションです。この回答の最後に、Willard Zhanによって指摘された $O(n)$ 解が追加されています。

$O(n\log n)$ ソリューション

convience、示すために $f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$ 。

定義 $l_1=1$ 、および $l_i$ 、そのような最小の指標であることが $l_i>l_{i-1}$ と $h[l_i]<h[l_{i-1}]$ 。同様に、定義 $r_1=n$ 、及び $r_i$ 最大インデックスようなもので $r_i<r_{i-1}$ と $h[r_i]>h[r_{i-1}]$ 。シーケンス $l_1,l_2,...$ また、 $r_1,r_2,\ldots$ は $O(n)$ 時間で簡単に計算できます。

がなく、（つまり、）である場合は、簡単です。ここでは、重要なケースに焦点を当てます。そのような場合、解決策を見つけるには、そのようなペアを検討するだけで済みます。 $i<j$ $h[i]< h[j]$ $f(i,j)>0$

それぞれについて、ように、聞かせて最大インデックスであるように、、および最小のインデックスであっても、その結果、次いで（そうでなければの定義によって $i<j$ $h[i]<h[j]$ $u$ $l_u\le i$ $v$ $r_v\ge j$ $h[l_u]\le h[i]$ $l_{u+1}\le i$ $l_{u+1}$ 、こうしての定義に矛盾）、同様に。従って $u$ $h[r_v]\ge h[j]$ つまり、ペアのみを考慮する必要があります。

（ h [r_{v}] - h [l_{あなた}] ） （ r_{v} - l_{あなた} ） \geq （ h [j] - h [私] ） （ r_{v} - l_{あなた} ） \geq （ h [j] - h [私] ） （ j - 私 ） 。

$(h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(j-i).$

(l_{u}, r_{v})

$(l_u,r_v)$

l_{u} < r_{v}

$l_u<r_v$

意味の、我々は次の補題を持っています。 $v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$

対、および場合があるように、及び又はその及びは、最終的な最適解にはなりません。 $(l_u,r_v)$ $l_u<r_v$ $u_0$ $u<u_0$ $v<v(u_0)$ $u>u_0$ $v>v(u_0)$

証明。定義によれば、我々は $v(u_0)$ または
$（ h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] - h [l_{{あなた}_{0}}] ）（ r_{v （ {あなた}_{0} ）} - l_{{あなた}_{0}} ） \geq （ h [r_{v}] - h [l_{{あなた}_{0}}] ）（ r_{v} - l_{{あなた}_{0}} ）、$ $(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$ $（ h [r_{v}] - h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] ） l_{{あなた}_{0}} + h [l_{{あなた}_{0}}] （ r_{v} - r_{v （ {あなた}_{0} ）} ） + h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] r_{v （ {あなた}_{0} ）} - h [r_{v}] r_{v （ {あなた}_{0} ）} \geq 0。$ $(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$
$u<u_0$ $v<v(u_0)$ $h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$ $r_v-r_{v(u_0)}>0$ $l_u<l_{u_0}$ $h[l_u]>h[l_{u_0}]$
$\begin{aligned} （ h [r_{v}] - h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] ） l_{あなた} + h [l_{あなた}] （ r_{v} - r_{v （ {あなた}_{0} ）} ） \\ > & （ h [r_{v}] - h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] ） l_{{あなた}_{0}} + h [l_{{あなた}_{0}}] （ r_{v} - r_{v （ {あなた}_{0} ）} ）。 \end{aligned}$ $\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$
$（ h [r_{v}] - h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] ） l_{あなた} + h [l_{あなた}] （ r_{v} - r_{v （ {あなた}_{0} ）} ） + h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] r_{v （ {あなた}_{0} ）} - h [r_{v}] r_{v （ {あなた}_{0} ）} > 0 、$ $(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$ $（ h [r_{v （ {あなた}_{0} ）}] - h [l_{あなた}] ）（ r_{v （ {あなた}_{0} ）} - l_{あなた} ） > （ h [r_{v}] - h [l_{あなた}] ）（ r_{v} - l_{あなた} ）。$ $(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$
$(l_u,r_{v(u_0)})$ $(l_u,r_v)$ $\blacksquare$

$v(\ell/2)$ $\ell$ $l_1,l_2,\ldots$ $o_1$ $(l_u,r_v)$ $u=1,\ldots,\ell/2-1$ $v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$ $o_2$ $(l_u,r_v)$ $u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$ $v=1,\dots,v(\ell/2)$ $\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$

$O(n)$

$f(l_u,r_v)=-\infty$ $l_u\ge r_v$ $u>u_0$ $v>v_0$ $f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$ $f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$ $M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$ $c$ $r_1,r_2,\ldots$ $r_{c-y+1}$ $y$ $M$ $f$

— xskxzr
ソース

あなたが証明したのは

f (l_{u}, r_{v})

$f(l_u,r_v)$ は単調行列なので、分割統治は

O (n \log n)

$O(n\log n)$ アルゴリズム。しかし、あなたは実際にそれを証明することができます

f (l_{u}, r_{v})

$f(l_u,r_v)$ あるモンジュ、ので、

O (n)

$O(n)$ SMAWKアルゴリズムを適用できます。

— ウィラードジャン2018

最大化する方法

O(nlogn)O（んログ⁡ん）O(n\log n)ソリューション

O （n ）O（ん）O(n)

$O(n\log n)$ ソリューション

$O(n)$