境界停止問題は決定可能です。なぜこれがライスの定理と矛盾しないのですか？

ライスの定理の1つのステートメントは、「計算の複雑さ：現代的なアプローチ」（Arora-Barak）の35ページに記載されています。

部分関数$\{0,1\}^*$に必ずしもすべての入力に定義されていない機能です。TMは、が定義されているすべてのあり、が定義されていないすべてのについて、入力時に実行されると Mが無限ループに入る場合、部分関数計算すると言います x。場合 Sは、部分関数の集合であり、我々は定義 fのS入力上のブール関数です α$\{0,1\}^*$$M$$f$$x$$f$$M(x) = f(x)$$x$$f$$M$$x$$S$$f_S$$\alpha$出力1 IFF $M_\alpha$を計算における部分関数$S$。ライスの定理は、すべての自明でない$S$について、関数$f_S$は計算可能ではないと述べています。

ウィキペディアは、制限付き時間チューリングマシンの言語はEXPTIME完了であると述べています。私は、この言語のようなものに見える期待$\{(\alpha,x,n) : M_\alpha$受け入れ$x$以下に$n$のステップ$\}$。したがって、$M$この有界言語を指数関数的に決定するDTMとしましょう。このDTMはすべてのチューリングマシンのいくつかのプロパティを決定しているようです。そのため、私の直感は、ライスの定理がそのような決定を排除していることを教えてくれます。しかし、明らかに$M$は合計関数を計算します。

この言語とライスの定理との関係について何が欠けていますか？

言語

$\qquad \{(α,x,n):M_α \text{ accepts } x \text{ in less than } n \text{ steps}\}$

インデックスセットではない、つまり次の形式ではない

$\qquad L_P = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ is TM},\ \exists\, f \in P.\ f_M = f \}$

（部分再帰）関数のいくつかのセットのためのと、F M TMによって計算（部分）関数M。ライスの定理は、そのようなL Pについてのみ述べています。多くの「直感的な」言い換えは役に立たない。こちらもご覧ください。$P$$f_M$$M$$L_P$

これは技術的な詳細だけではないことに注意してください。ライスの定理は適用されません

、$\qquad L = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ accepts } \langle M \rangle \text{ in less than } \langle M \rangle \text{ steps} \}$

どちらか。理由がわかりますか？

内のすべてのマシンのためにあなたは簡単に同じ言語を受け入れますが、より多くのために実行する多くのマシン構築することができ⟨ M ⟩ための手順などをしていないL。したがって、Lはインデックスセットではありません。$L$$\langle M \rangle$$L$$L$

は決定可能であり、議論している元の言語と同じ引数を使用します。$L$

ライスの定理によると、プログラムを無限に実行したままにしておくと、プログラムの最終的な振る舞いについては何も言えません-プログラムをどのように分類しても、同じ最終的な振る舞い（計算関数）に収束する2つのプログラムがあります）あなたはそれらを異なって分類しましたが。

しかし、プログラムを無限に実行させることは不可欠です。彼らは最初に何をすべきかを調べるには手順、あなただけの最初のためにそれらをシミュレートすることができ、n個のステップと、プログラムが正常に動作どのようにあなたの評決を与えて終了します。シミュレートされたプログラムがシミュレートされた入力で終了しない場合、分類を提供する代わりに分類子も発散するため、無限大までの同様のシミュレーションは機能しません。$n$$n$

まず、あなたの言語の単語は機械のエンコーディングではなく、より多くの情報を含んでいるので、ライスの定理を直接適用することはできません。とはいえ、ライスの定理は、チューリングマシンによって計算された関数を推論することの不可能性（つまり、あるセットにあるかどうか）について述べています。ラファエルが言及したように、同じ関数を計算する2つのマシンM 、M 'が存在するため、これはここでは当てはまりません。x 、nという事実$S$$M,M'$$x,n$入力の一部です）。重要なのは、ここで確認しているプロパティは機械的であり、セマンティックではないということです（マシンは同じ機能を異なる方法で計算する場合があります）。

$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$