Yコンビネータは、「ラムダ計算の不整合」をどのように例示しますか？

Fixed Point Combinatorsの Wikipediaページには、かなり神秘的なテキストが書かれています

Yコンビネータは、ラムダ計算が矛盾する原因の例です。したがって、それは疑いをもって考慮されるべきです。ただし、数学ロジックでのみ定義されている場合は、Yコンビネータを考慮するのが安全です。

ある種のスパイ小説を始めましたか？計算は「一貫性がなく」、「疑いを考慮して」すべきだという声明は、世界で何を意味するのでしょうか。$\lambda$

それは実際の出来事からインスピレーションを得ていますが、それが述べられている方法はかろうじて認識できず、「疑いをもって見なされるべきです」はナンセンスです。

一貫性は論理において正確な意味を持ちます。一貫性のある理論とは、すべてのステートメントを証明できるわけではない理論です。古典論理では、これは矛盾がないことに相当し、すなわち理論があれば矛盾していると、ステートメントがある場合のみ理論は、両方の証明するように、 Aとその否定 ¬ Aは。$A$$A$$\neg A$

では、これはラムダ計算に関して何を意味するのでしょうか？なし。ラムダ計算は書き換えシステムであり、論理理論ではありません。

ロジックに関連してラムダ計算を表示することができます。変数を証明で仮説を表すものとして、ラムダ抽象化を特定の仮説（変数で表される）の下での証明として、アプリケーションを条件付き証明と仮説の証明をまとめるものとして考えてください。次に、ベータ規則は、論理の基本原理である方法論ポネンを適用することにより証明を単純化することに対応します。

$n=3$$n=2$

カリー=ハワード同型対応はとの間に並列で入力された結石と証明システム。

• タイプは論理ステートメントに対応しています。
• 用語は証明に対応します。
• 居住型（つまり、その型の用語があるような型）は、真のステートメント（つまり、そのステートメントの証拠があるようなステートメント）に対応します。
• プログラム評価（ベータなどのルール）は、証明の変換（正しい証明を正しい証明に変換した方がよい）に対応します。

$Y$$Y (\lambda x.x)$

これは、純粋なラムダ計算、つまり型のないラムダ計算では意味がありません。

多くの型付き計算では、固定小数点コンビネータを定義することは不可能です。これらの型付き計算は、論理的な解釈に関しては有用ですが、チューリング完全プログラミング言語の基礎としてではありません。一部の型付き計算では、固定小数点コンビネータを定義できます。これらの型付き計算は、チューリング完全プログラミング言語の基礎として役立ちますが、論理的な解釈に関しては役立ちません。

結論として：

• ラムダ計算は「不整合」ではなく、その概念は適用されません。
• 型付きすべてのラムダ項にタイプを割り当てラムダ計算は矛盾しています。型付きラムダ計算にはそのようなものもあれば、一部の用語を入力不可能にして一貫性のあるものもあります。
• 型付きラムダ計算は、ラムダ計算の唯一の存在理由ではなく、一貫性のない型付きラムダ計算でさえ非常に便利なツールです-物事を証明するだけではありません。

@Gilesが言ったことに1つ追加したいと思います。

$\lambda$$\lambda$

$\lambda x.\lambda y.x$$a \to (b \to a)$$a \to b$$a$$b$$a \implies (b \implies a)$$\lambda x.\lambda y.xy$$(a \to b) \to (a \to b)$$(a \implies b) \implies (a \implies b)$

$\lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$$(a \to a) \to a$$(a \implies a) \implies a$

$(a \to a) \to a$

• $(a \to a) \to a$$\lambda$
• 論理的推論のシステムとして一貫性のない型システムで生きる。