2つまたは3つのクエリで多項式を見つける

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ブラックボックスは、任意の点で多項式を評価できることを意味します。 $f(x)$ $f(x)$

入力：次数のモニック多項式のブラックボックス。 $f(x) \in\mathbb{Z}^+[x]$ $d$
出力：多項式の係数。 $d$ $f(x)$

私のアルゴリズム： let

f (x) = x^{d} + a_{d - 1} x^{d - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

$f(x) = x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

ブラックボックスを使用して多点で多項式を評価し、線形方程式系を取得します。これで、線形方程式を解いて目的の係数を取得できます。 $\mathcal{f(x)}$ $d$

ただし、この場合、ブラックボックスに対する多くのクエリが必要です。クエリの数を最小限に抑えたい。クエリの数を2つまたは3つに減らす方法はありますか？ $\mathcal{O(d)}$

algorithms polynomials

— 複雑
ソース

2

質問を変え続けます。おそらくあなたは最初にあなたの質問を決め、それからそれを尋ねるべきです。そうしないと、回答者にとってややイライラすることがあります。

— ユヴァルフィルマス

2

とはどういう意味ですか？

Z^{+}

$\mathbb{Z}^+$

— md5

1

正の整数のセット

— 複雑さ

1

ところで、アルゴリズムの場合、ラグランジュの閉じた公式を使用して、ではなくで係数を計算できます。

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— md5

2

違った言葉で表現正確に同じ質問、：math.stackexchange.com/questions/446130/...

— Nayuki

回答:

29

2つのクエリを使用して多項式を決定できます。最初に多項式を照会して、係数の値の上限を取得します。ここで、選択したで多項式を照会し、ベース展開から係数を読み取ります。 $x=1$ $M$ $x > M$ $x$

不思議なことに、係数が負になることを許すと、クエリよりも良くできません。確かに、私はあなたのクエリ常にゼロで答えることができます。そして、これはは私の答えと一致しています。 $d$ $d-1$ $x_1,\ldots,x_{d-1}$ $(x-x_1)\cdots(x-x_{d-1})(x-x_d)$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

ネガについては、2の補数の種類のトリックが機能する可能性があると思います。

— 複雑さ

4

係数の大きさの上限がないわけではありません。これが私の証明が示すものです。

— ユヴァルフィルマス

申し訳ありませんが、この部分を取得できませんでした。「常にクエリにゼロで回答できます」

d - 1

$d-1$

x_{1}, \dots, x_{d - 1}

$x_1,\ldots,x_{d-1}$

— 複雑さ

6

これは敵対的な議論です。あなたのアルゴリズムは、の値をブラックボックスを尋ねるでの場所、それは常にゼロに答えます。の値を推測するにはこれでは不十分であることを示します。

f

$f$

d - 1

$d-1$

f

$f$

— ユヴァルフィルマス

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