バイナリツリーの証明には、最大で葉があります

ノードを持つ二分木が最大で葉を持っていることを証明しようとしています。誘導でこれを行うにはどうすればよいですか？$n$$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

ヒープに関する最初の質問でフォローしていた人々のために、それはここに移動されました。

質問は次のようになりました。

バイナリツリーを考えるとノード、それはせいぜい含まれていることを証明⌈ $n$葉。$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

米国ツリー定義を操作でき。以下のためにTそのようなAのツリー、聞かせてN Tのノードの数TとL T内の葉の数T。$\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$$T$$n_T$$T$$l_T$$T$

帰納法でこれを行うのは正しいことですが、ツリー構造に従う構造帰納法が必要になります。木の場合、これはしばしば木の高さ に対する完全な帰納法として行われます。$h(T)$

誘導アンカーには2つの部分があります。まず、場合、T = E m p t yであり、l T = n T = 0です。空のツリーに対しても明確に主張が成り立っています。以下のための時間（T ）= 1、すなわち、T = Lは電子fは、我々は同様に有し、L T = 1 = ⌈ N $h(t)=0$$T=\mathrm{Empty}$$l_T=n_T=0$$h(t)=1$$T = \mathrm{Leaf}$、その主張は、葉のために保持しています。$l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

帰納法の仮定は、請求項は、全ての（バイナリ）木のために保持しているものととの時間（T ）≤ K、K ≥ 1任意であるが固定されています。$T$$h(T)\leq k$$k\geq 1$

帰納的ステップでは、h （T ）= k + 1の任意の二分木を考えます。K ≥ 1、T = N O D E（L 、R ）と、N T = N L + N R + 1。以下のようにL及びRは、バイナリツリーでもある（そうでなければTはないであろう）とH （L ）、H $T$$h(T)=k+1$$k\geq 1$$T=\mathrm{Node}(L,R)$$n_T = n_L+ n_R+1$$L$$R$$T$、帰納法の仮定が適用されてい$h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

すべての葉としてのいずれかであるLまたはR、我々はそれを持っています$T$$L$$R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

付い不等式かにわたって（四方）のケースを区別することによって確認することができ、n個のL、N R ∈ 2 N。誘導の力により、これで証明が終わります。$(*)$$n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

演習として、同じ手法を使用して次のステートメントを証明できます。

• 高さすべての完全な二分木には2 h − 1個のノードがあります。$h$$2^h-1$
• すべての完全なバイナリツリーには、奇数個のノードがあります。

私は質問に少し混乱しています。次数が最大でである木に興味がある場合（これはウィキペディアが望むことです）、単一のエッジにn = 2ノードとn = 2葉がありますが、n / 2 = 1であるという問題に遭遇します。とにかく、ここに簡単な議論がある何か近いものがあります。 $3$$n=2$$n=2$$n/2 = 1$

してみましょうこのような木もn個のノードとLの葉。以来Tが木で、あるのn - 1つのエッジ、およびダブルカウント彼らは、我々はそれを参照して 2 のn - 2 ≤ L + 3 （nは- L ） と述べている 2 L ≤ N + 2 と、これは二つにきついです-vertexの例。私はあなたが仮定したい場合は1度2のルート、そこにいることを推測のn ≥ 3、その後、あなたはこの引数を絞り込むことができますが、与えることを 2 $T$$n$$L$$T$$n-1$