計算可能性理論における再帰の重要性

計算可能性理論は再帰理論とも呼ばれています。なぜそう呼ばれているのですか？なぜ再帰がこれほど重要なのでしょうか？

1920年代と1930年代に、人々は「関数を効果的に計算する」とはどういう意味かを理解しようとしていました（汎用コンピューティングマシンは存在せず、コンピューティングは人々によって行われたことを思い出してください）。

「計算可能」の定義がいくつか提案されましたが、そのうち3つが最もよく知られています。

1. -calculus$\lambda$
2. 再帰関数
3. チューリングマシン

これらは、同じ数論関数のクラスを定義することが判明しました。再帰関数はチューリングマシンよりも古く、さらに古い -calculusは計算可能性の適切な概念としてすぐに受け入れられなかったため、形容詞「再帰」が広く使用されました（再帰関数、再帰セット、再帰列挙可能セットなど）。$\lambda$

その後、Robert Soareによって普及した「再帰的」から「計算可能」に変更する努力がありました。したがって、今日では、計算可能な関数と計算可能な列挙可能なセットについて話しています。しかし、多くの古い教科書と多くの人々は、まだ「再帰的な」用語を好んでいます。

歴史はこれで終わりです。純粋に数学的な観点から、再帰が計算にとって重要かどうかを尋ねることもできます。答えは非常に明確な「はい」です。汎用プログラミング言語の基礎で再帰嘘（さえwhileためループは再帰のちょうど形態であるwhile p do c同じであるif p then (c; while p do c)）、およびそのようなリストや木のような多くの基本的なデータstucturesは、再帰的です。再帰は、コンピューターサイエンス、特に計算可能性理論では避けられません。

計算可能性理論は、計算可能な関数の研究です:-)。

このような関数は、通常（このコミュニティでは）チューリングマシンで表現できる関数として定義されます。

$f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$T$$T$$x = 1^n$$T$$1^{f(x)}.$

このように計算可能な関数（プログラム）を定義すると、それらはここで説明するルールを使用して取得できる関数のセットと同等であることがわかり ます。このような関数を取得するためのルールの1つは再帰的な定義であるため、これらは再帰関数と呼ばれます（ウィキペディアの5番目の規則を参照）。

したがって、再帰理論が非常に重要である理由は、なぜ計算可能な関数が重要であるのかという質問と同等です。そして、後者への答えは非常に明白なはずです:)