計算可能な実数の決定可能な特性

「ライスの計算可能な実数の定理」-つまり、特定の計算可能な実数によって表される数の自明でない特性が決定可能ではない-真か？

これは、現実のつながりに直接関係していますか？

computability real-numbers computable-analysis

— シャチャフ
ソース

はい、ライスの実数の定理は、計算可能な実数のすべての合理的なバージョンに当てはまります。

まず、ある定理とその帰結を証明し、それが計算可能性とどう関係するかを後で説明します。

定理： と仮定 $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ のマップでありように、2つの実数および。次に、すべてのに対してとなるようなコーシーシーケンスが存在します。 $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$ $(x_i)_i$ $p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$ $j \in \mathbb{N}$

証明。実数のペアのシーケンスを次のように作成します：すべてのます。 $(y_i, z_i)_i$

\begin{aligned} (y_{0}, z_{0}) & = (a, b) \\ (y_{i + 1}, z_{i + 1}) & = {\begin{cases} (y_{i}, (y_{i} + z_{i}) / 2) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 1 \\ ((y_{i} + z_{i}) / 2, z_{i}) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$

i \in N

$i \in \mathbb{N}$

$p(y_i) = 0$ および $p(z_i) = 1$
$|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

したがって、シーケンスおよびはコーシーであり、共通点に収束します。場合はその後、我々は取る、そしてもし、我々は取る。 $(y_i)_i$ $(z_i)_i$ $c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$ $p(c) = 0$ $(x_i)_i = (z_i)_i$ $p(c) = 1$ $(x_i)_i = (y_i)_i$ $\square$

推論：と仮定とように、2つの実数および。次に、すべてのチューリングマシンが永久に実行されるか、永久に実行されないかのいずれかになります。 $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$

証明。 定理により、すべてのに対してとなるコーシーシーケンスがあります。一般性を失うことなく、およびと想定でき。 $(x_i)_i$ $p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$ $j \in \mathbb{B}$ $p(x_j) = 1$ $p(\lim_i x_i) = 0$

してみましょうチューリングマシンです。シーケンスをシーケンスは明確に定義されています。これは、最大ステップまでシミュレーし、その数のステップ内で停止したかどうかを判断できるためです。次に、がコーシーシーケンスであるため、がコーシーシーケンスであることを確認します（これは演習として残します）。ましょう。またはいずれか： $T$ $y_i$

y_{i} = {\begin{cases} x_{j} & if T halts in step j and j \leq i \\ x_{i} & if T does not halt within i steps \end{cases}

$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$

T

$T$

i

$i$

(y_{i})_{i}

$(y_i)_i$

(x_{i})_{i}

$(x_i)_i$

z = lim_{i} y_{i}

$z = \lim_i y_i$

p (z) = 0

$p(z) = 0$

p (z) = 1

$p(z) = 1$

もし、次いで永久に実行されます。実際、ステップ後に停止した場合、となるため、はと矛盾し。 $p(z) = 0$ $T$ $j$ $z = x_j$ $p(z) = p(x_j) = 1$ $p(z) = 0$
もしその後、永遠に実行されません。実際、そうである場合、となり、したがって、と矛盾し。 $p(z) = 1$ $T$ $z = \lim_i x_i$ $p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$ $p(z) = 0$ $\square$

これで、なぜライスの実数の定理が得られるのかを説明できます。証明は建設的であるため、計算可能な手順を生成します。これは、いわゆる呼ばれるに値する計算可能性のモデルと実数の計算構造に当てはまります。実際、戻って、プログラムを構築するための指示として証明を読むことができます。すべてのステップは計算可能です。

したがって、計算可能なマップおよび計算可能なマップがある場合、および、その後、定理と帰結の建設的な証明から生じる計算可能な手順を適用して、ホールティングオラクルを作成できます。しかし、ホールティングオラクルは存在しません。したがって、すべての計算可能なマップは一定です。 $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(1) = 1$ $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$

補足：ライスの定理が現実のつながりに関連しているかどうかについても質問がありました。はい、それは本質的に現実が接続されているという声明です。

私たちは最初の連続マップのことを観察してみましょう（私たちは上の離散トポロジ取る互いに素clopenのペアに対応）を設定します（閉じた状態と開いた）ように。実際、と取ります。ので、連続的であり、と開放され、及び、互いに素オープンとなり、彼らは明らかに全て覆う。逆に、をカバーする互いに素なクローペンのペアは、連続マップを決定します $p : X \to \{0,1\}$ $\{0,1\}$ $U, V \subseteq X$ $U \cup V = X$ $U = p^{-1}(\{0\})$ $V = p^{-1}(\{1\})$ $p$ $\{0\}$ $\{1\}$ $U$ $V$ $X$ $(U,V)$ $X$ $p : X \to \{0,1\}$ は、要素を、要素をマップします。 $U$ $0$ $V$ $1$

このことから、連続マップとが存在し、およびである場合に限り、スペースが切断されていることがわかります。（我々は必要と、我々はの非自明な分解を得るように）。同じことを言う別の方法があります。すべての連続マップが定数である場合にのみ、スペースが接続されます。 $X$ $p : X \to \{0,1\}$ $a, b \in X$ $p(a) = 0$ $p(1) = b$ $a$ $b$ $X$ $X$ $X \to \{0,1\}$

計算可能な数学では、基本的な定理があります。すべての計算可能なマップは連続です。したがって、計算可能なオブジェクトの領域内にある限り、ライスの定理は実際には特定の空間が接続されていると述べています。古典的なライスの定理の場合、問題の空間は、部分計算可能関数です。 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— アンドレイ・バウアー
ソース

ありがとう！これは私が探していたものです。他の質問についての考え-これが現実のつながりに直接関連しているかどうか？

— Shachaf 2017

ライスの定理が実際に接続性定理の形式であるという説明を追加しました。

— Andrej Bauer

仮定と定義場合内部に停止しないステップとさもなければ。Tが停止しない場合、はに収束します。それ以外の場合は、に収束します。場合計算され、次いで、所与、一つの限界計算機生成することができる。なぜこれはが計算可能でも半決定的でもないことを示すのに十分ではない（が場合は停止しないため）

p (x) = 1, p (x^{'}) = 0

$p(x)=1, p(x')=0$

y_{i} = x

$y_i=x$

T

$T$

i

$i$

y_{i} = x^{'}

$y_i=x'$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

x, x^{'}

$x,x'$

T

$T$

y_{i}

$y_i$

p

$p$

T

$T$

p

$p$

1

$1$ 限界に）。半決定的である重要なプロパティがあるので、明らかに何かが欠けています。

— アリエル

定義は問題ありませんが、その限界が計算可能であると主張するには、シーケンス計算可能な収束率も必要です。どのインデックスでシーケンスがからジャンプするかを計算できない（または、ステップが停止するときに計算できる）ため、このような計算可能な収束率は得られません。

T

$T$

y_{i}

$y_i$

i

$i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

T

$T$

— Andrej Bauer

-1

いいえ。または、少なくとも、証明は簡単ではありません。なぜなら、実数を計算するための（一般的には多くの）可能な方法の中から選択でき、選択したプロパティに対して合計である構造を持つ方法を選択できるためです。プロパティのテストを停止問題まで減らすことはできません。

また、数字の性質に関して「自明ではない」が何を意味するのかをもっと理解する必要があると思います。ライスの定理では、「自明ではない」は基本的に構文ではなく、構文によって暗示されていません。ただし、各計算可能な実数は単一のプログラムではなく、プログラムでいっぱいの等価クラスです。

— ボイドスティーブンスミスジュニア
ソース

どういう意味かよくわかりません。あなたは計算可能実数（例えば、区別しようとしている、、、など）と、それらを計算するプログラム？もちろん、それぞれの計算可能な実数を計算するプログラムは無限にありますが、決定可能な言語を決定するチューリングマシンも無限にあります。通常のライスの定理には問題がありません。

2

$2$

22 / 7

$22/7$

π

$\pi$

— David Richerby 2017

計算可能な実数の異なる表現は、実際には著しく異なる計算可能性プロパティを持っていますか？en.wikipedia.org/wiki/Computable_numberの定義の1つを使用しているとしましょう。たとえば、計算可能な実数は、有理誤差範囲を取り、その範囲内で近似を生成するプログラムによって表されます。ライスの定理と同じ意味で「自明」を意味します。すべての計算可能な実体に適用されるか、どれにも適用されない特性です。各数値が複数のプログラムで表現できることは事実ですが、部分的な関数についても同様です。

— Shachaf 2017

@Shachafこれは、ライスの定理が必要とするよりも「自明」です。「構文」プロパティも簡単です。たとえば、「初期状態から少なくとも4つの状態に到達できる」、「接続状態グラフがある」、「Xをテープに書き込む遷移がない」などです。すべてのマシンには適用されません。

— ボイドスティーブンスミスジュニア

@DavidRicherbyはい、区別が必要だと思います。全体的または生産的な表現でのみ作業できる場合は、より強力です。

— ボイドスティーブンスミスジュニア

ライスの定理は部分関数の特性に関するものであり、それらを計算するアルゴリズムではありません。同様に、私はそれらを計算するプログラムではなく、計算可能な実数のプロパティについて尋ねています。

— Shachaf 2017