漸近表記の使用におけるエラー

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次の再発の証拠で何が問題なのかを理解しようとしています

T (n) = 2 T (⌊ \frac{n}{2} ⌋) + n

$T(n) = 2\,T\!\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+n$

T (n) \leq 2 (c ⌊ \frac{n}{2} ⌋) + n \leq c n + n = n (c + 1) = O (n)

$T(n) \leq 2\left(c\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+n \leq cn+n = n(c+1) =O(n)$

という帰納的仮説があるため、ドキュメントには間違っていると記載されています。

T (n) \leq c n

$T(n) \leq cn$

— Erb
ソース

2

この形式の繰り返しは、マスター定理を使用して解決することもできます。

— Juho

2

@蘭：マスター定理はこの質問にふさわしいタグではないと思います。問題はそれをどのように解決するかではなく、特定の議論の誤りを指摘することです。その上、マスター定理はおそらく具体的すぎて、おそらく独自のタグを持つに値しません。一般的に、可能な答えではなく質問に基づいてタグ付けする必要があります。たとえば、このakra-bazziにタグを付けますか？

— Aryabhata

「次の証明の何が問題になっていますか」-証明が表示されません。間違いを見つけるために、完全な証明を書き留める（つまり、帰納法を明示する）ことがしばしば役立ちます。

— ラファエル

関連するより一般的な質問は、数列の反復関係を解決または近似することです。

— Juho

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最終的な目標がを証明することであるとしましょう。導入仮説から始めます。 $T(n) = \mathcal{O}(n)$

$T(i) \leq ci$ for all。 $i < n$

証明を完了するには、も示す必要があります。 $T(n) \leq cn$

ただし、推定できるのはであり、証明を完了するのに役立ちません。（ほぼ）すべてに対して1つの定数が必要です。したがって、結論を出すことはできず、は証明されません。 $T(n) \leq (c+1)n$ $c$ $n$ $T(n) = \mathcal{O}(n)$

結果と証明プロセスの間で混乱していることに注意してください。そしてもう1つ、は実際にはこの場合のなので、適切な帰納法の仮説を検討してそれを証明することができます。 $T(n)$ $\Theta(n \log n)$

— パッド
ソース

c '= c + 1を置き換えると、変更されますか？

— Erb

@erb：いいえ、ありません。選択した定数について証明する必要があります。置き換えると、最終的に（または）が得られ、結果は同じになります。

c^{'} = c + 1

$c'=c+1$

T (n) \leq (c^{'} + 1) n

$T(n) \leq (c'+1)n$

T (n) \leq (c + 2) n

$T(n) \leq (c+2)n$

— パッド

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いくつかの手順を省略しました。であることを帰納法で証明しようとしているようで、証明は次のようになります。 $T(n) = O(n)$

に対してと仮定します。これは、一部のを意味し。その後、なので、。 $T(k) = O(k)$ $k<n$ $T(k) \le c \, k$ $c$ $T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$ $T(n) = O(n)$

この証明は最初から正しくありません。「 for」は意味がありません。ビッグオーは漸近的な概念です：は、定数としきい値Nが存在することを意味し、ます。そして最後に、「」と結論付けることはできません。これは、関数全体についての何かを示しており、特定の値についてのみ証明したためです。 $T(k) = O(k)$ $k \lt n$ $T(k) = O(k)$ $c$ $\forall k \ge N, T(k) \le c \, k$ $T(n)=O(n)$ $T$ $T(n)$

意味を明確にする必要があります。おそらくあなたの証明は行くでしょう： $O$

すべてのと仮定します。次に、です。 $T(k) \le c \, k$ $k < n$ $T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$

これは帰納的なステップを証明していませんから始め、、ことを証明しました。これは弱い境界です。これが何を意味するか見てください：はがの成長率の限界であることを意味し。しかし、が大きくなると、速度も大きくなります。それは直線的な成長ではありません！ $T(k) \le c \, k$ $k=n$ $T(k) \le (c+1) \, k$ $T(k) \le c \, k$ $c$ $T$ $c$ $k$

よく見ると、 2倍になるたびに、レートがずつ増加します。したがって、非公式に、場合、です。つまり、です。 $c$ $1$ $k$ $m=2^p k$ $c_m = c_k + p$ $c_k = c_0 \log_{2} k$

これは正確にすることができます。そのための誘導により証明、。 $k \ge 1$ $T(k) \le c \log_2(k)$

回帰関係は、データを線形時間で2つの等しい部分に分割する分割統治アルゴリズムの典型です。そのようなアルゴリズムは、時間で動作します（はありません）。 $\Theta(n\,\mathrm{log}(n))$ $O(n)$

期待される結果が何であるかを確認するには、マスター定理に対して反復関係をチェックします。除算はあり、実行される追加の作業はです。なので、これは増加がである2番目のケースです。 $2T(n/2)$ $n$ $\log_2(2) = 1$ $\Theta(n\,\log(n))$

— ジル 'SO-悪をやめる'
ソース

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おそらく私のコメントをより詳細に説明することによってのみ、すでに与えられた答えを拡張しています。

推測は明らかに困難で面倒な場合があるため、より良い方法が存在する場合があります。そのような方法の1つがマスター定理です。繰り返しはの形式になりました。ここでとは定数で、は関数です。この場合、はを意味すると解釈できることに注意してください。厳密に言うと、ため、反復は明確に定義されていない可能性があります。 $T(n) = a T(n/b) + f(n)$ $a \geq 1$ $b > 1$ $f(n)$ $\lfloor n/2 \rfloor$ $n/2$ $n/2$ 整数ではない可能性があります。ただし、再発の漸近的な振る舞いには影響しないため、これは許可されています。したがって、床や天井を落とすと便利なことがよくあります。これの正式な証明は少々退屈ですが、興味のある読者は、例えばCormenらからそれを見つけることができます。本。

この場合、、、ます。これは、ます。マスター定理の2番目のケースは、から適用され、解ます。 $a = 2$ $b = 2$ $f(n) = \Theta(n)$ $n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n$ $f(n) = \Theta (n)$ $T(n) = \Theta (n \log n)$

— 十保
ソース

ありがとう！「床と天井を落とすこと」は、一般的に行われると仮定することに対応することに留意されたい。基本的な観察は、非減少関数の場合、サブシーケンスの漸近的成長はシーケンス全体の漸近的成長に等しいということです。

n = 2^{k}

$n=2^k$

— ラファエル