なぜ同型、自己同型、準同型をするのですか？

単純な素人言語における同型、自己同型、準同型の3つの用語の主な違いは何ですか？また、同型、自己同型、準同型を行う理由は何ですか？

同型は、等しいグラフの概念を形式化します。この図の例では、3つの同形グラフが表示されます

より正式には、グラフおよび同型は、隣接関係を保持する全単射です。それは言うことです：G 2 F ：V （G 1）↦ V （G 2$G_1$$G_2$$f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

写真上のグラフのすべてのペアに対してこのような全単射を見つけることは難しくありません。

今場合自体グラフから同型-次に、得られたマッピングが同型となります。$G_1 = G_2$

グラフの自己同型性の直観的な概念は何かと尋ねるかもしれませんが、その答えは、グラフのどの頂点が「同等」であるかの情報を提供するということです。言い換えると、グラフのに自己同型があり、頂点$f$$G$$v$が頂点マッピングされる、ある方法でuとvの近傍は同じように見えます。$u$$u$$v$

これは、グラフの対称性の概念につながります。グラフあると言われている頂点推移頂点のすべての対について場合、U 、V ∈ V （G ）同型が存在するF ：V （G ）↦ V （G ）、その結果、F （U ）= vが。頂点推移グラフの例は、ピーターセングラフです $G$$u,v \in V(G)$$f:V(G) \mapsto V(G)$$f(u) = v.$

そして、あなたが見ることができるように、グラフはかなり対称的に「見える」。それはまさにそれが記述されたタイプの「多くの」自己同型を持っているからです。

グラフ準同型は通常、素人によって研究されておらず、多かれ少なかれ理論的な目的です。たとえば、頂点の色の概念と密接に関係しています。ハドウィガー予想 も参照

$h:G\rightarrow G'$$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$e=(u,v) \in E$$(h(u),h(v))\in E'$

現在、グラフ同型は全単射準同型であり、逆であることも準同型であることを意味します。2つのグラフが同型である場合、それらは本質的に同じグラフであり、頂点のラベルが付け直されています。2つのグラフが互いに同型であるかどうかを判断する問題は、複雑性理論の重要な問題です。

最後に、自己同型は、グラフからそれ自体への同型です。