列挙可能である場合、自然数（つまり、可算）を持つ全単射があることを意味し、計算可能数は列挙可能ではありません。
問題をより正確に定義してみましょう。「数値印刷チューリングマシン（NPTM）」は、すべての状態遷移に対して何も印刷しないか、10進数、マイナス記号、またはピリオドを印刷する可能性があるチューリングマシンです。これは、実数の10進表現を印刷するには十分です。
空のテープから始まるNPTMによって、十分な時間を与えられ、任意の長い表現で印刷できる任意の実数として計算可能な実数を定義してみましょう。また、数値は所定のNPTMによって計算され、整形式の実数を出力した後に停止する（この場合、数値は有限の10進表記を持っている）か、有限の時間で整形式の数値を出力する小数点付きで、これまでより多くの時間を与えられて、より多くの桁を印刷することにより、数値の精度を向上させます。
この後の条件が必要になるのは、たとえば、ある数字の無限のシーケンスを出力するマシンがある場合、たとえば1111111111111111111...は、実数は右への無限表現しか持たないため、実数を計算しているとは言えません。小数点の側。一方、マシン3.14が印刷してから印刷を停止しても停止しない場合、数値の精度が向上していないという理由だけで実数を計算しているとは言えないため、この特定のマシンはそれを構築しません。さらに。
これらは、いくつかの数値を計算するNPTMの例です。以下のNPTM：
- 印刷
1してから停止します。1を計算します。
- 印刷
1.0してから停止します。また、1を計算します。
- 印刷し
1.0000000、ゼロを永久に印刷し続けます。これも1を計算します。
- 印刷
3.14してから停止します。3.14を計算します。
3.14159ππ- 印刷
-42.してから停止します。数値-42を計算します。
そして、これらは数値を計算しない NPTMの例です。以下のNPTM：
- 印刷し
123123123た後、一連の印刷に行く123永遠に。この無限シーケンスは実数を表さないため、数値を計算していません。
- 印刷
1.0.0してから停止します。これは、この有限シーケンスが適切に形成されていないためではありません。
- 印刷
....-..---してから停止します。これも整形式の実数ではないからではありません。
- 印刷することはありませんが、停止することはありません。構築中の数はありません。
- 何も出力せず、すぐに停止します。番号は作成されませんでした。
- prints
3.14、停止しませんが、それ以外は何も出力しません。精度が時間とともに増加しないため、数値を計算していません。
あなたはアイデアを持っています。次に、NPTMには2つのクラスがあります。実数を計算するクラスと計算しないクラスです。
計算可能な数値の列挙を見つける際の問題は、NPTM自体がカウント可能であっても、ある種類のNPTMを別の種類のNPTMから分離する手順を使用できないことです。
SF：N → S
計算可能な数が計算可能であることを「証明」するために、NPTMの計算からそのような関数を定義したくなるかもしれません（そして、計算可能な数が計算可能であると信じるとき、これは人々がよくやったことです）。このようなもの：
ENPTM：N − > NPTME計算：N → 計算可能
まあ、私たちはしません。すぐに印刷1.0してから印刷を停止し、Post通信の問題のインスタンスを解決しようとするマシンを考えてみます。それが問題を解決した場合、それは停止し、マシンは数値1を計算しました。しかし、その問題は決定不可能であるため、停止することはなく、停止しない場合は実数を計算しません。しかし、停止の問題も決定できないため、停止するかどうかはわかりません。したがって、この特定のマシン、および他の無限に多くのマシンが計算するか、実数でないかを知る方法がないため、この方法で全単射関数を構築/定義することはできません。
全単射を定義するナイーブな方法は失敗し、それを行う方法がないことを証明することは非常に難しくありません。Yuval Filmusが示唆したように、対角化を使用できます。