量子コンピュータは、古典的なコンピュータよりも線形代数を速く実行できますか？

十分な数の量子ビットを備えた量子コンピューターがあったとしたら、それを使用して、古典的コンピューターよりも高速に線形代数を実行できますか？どのようなスピードアップが期待できますか？だれかが線形代数の量子アルゴリズムを作成しましたか？それは実行時間ですか？理論的には、行列と行列の乗算などの演算は高度に並列化できますが、実際には、高速に実行される並列行列と行列の乗算を実装するには多くの作業が必要です。量子コンピューターは実用的な利点を提供しますか？

ここにいくつかのポインタがあります：

• Harrow、Hassidim、およびLloydによる方程式の線形システムの量子アルゴリズム。このペーパーでは、線形方程式のスパースシステムを非常に迅速に解く方法を示します。

• Anupam Prakashによる線形代数と機械学習のための量子アルゴリズム。この博士論文は、特異値推定のための迅速なアルゴリズムを提案し、いくつかのアプリケーションを提示します。

行列のある数学モデル

HHLアルゴリズムは、前述のリンクにあります。量子コンピューターに実装しましょう。私たちは、線形方程式のシステム解決したいこれから| x > = A − 1 | b $A|x> = |b>$$|x> = A^{-1} |b>$

$A = \begin{bmatrix} 1.5 & 0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$$b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$A^{-1} . |b> = \begin{bmatrix} 0.75 \\ -0.25 \end{bmatrix}$

量子回路設計

arXiv 1302.1210の量子回路を2キュビット、1キュビットを入力bとして使用します。2番目の量子ビットは補助ビットであり、出力の1つは出力の準備ができていることを意味します。 この回路は、入力としてPEA回路（ゲートR）を使用し、出力で逆PEA回路を使用します。位相推定またはPEAを使用して、| b>の量子状態を特定の基準で分解し、Aの固有値を固有値レジスターに格納します。回転ゲートR（y）は、固有値レジスタの値に応じた角度で変換します。次に、PEAを逆に実行して固有値を計算解除し、答えを見つけます。量子コンピューターでは、1または0を見つける可能性のみを測定できます。

ゲートパラメータ

$\lambda_{1} = 1 \; \lambda_{2} = 2$$\theta = -2arccos \dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} \\$

$\theta = -2arccos(1/2)= -2\dfrac{\pi}{3}$

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