線形制約で凸関数を最大化する

$$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

どこ

$$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$$

及び A ∈ R M × $\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$。

が凸型であり、次の形式であることがわかります$f$。またことを示すことができるFがで囲まれている[$\sqrt{1+y^2}$$f$$[\sqrt{2}, 2]$。一般に、凸最大化問題はNP困難であることを知っています。

ただし、問題の特定の性質を使用して、標準の凸最適化ソフトウェア/パッケージを使用してそれを解決することは可能ですか？

はい、等式制約付きの凸最適化は一般にNP困難です。ただし、座標降下など、凸最適化問題の非常に優れた近似解を見つける成熟した技法が存在します。

座標降下を使用し、行列Aのランクがます。あなたの実行可能解のNK-1座標を修正することができ、Xは、= （X 1、X 2は、xは3、。。。、xはN）、次いで一意いずれかによって決定される解空間における解ベクトル座標、例えば、xはIを。その場合、x iに関するf （⋅ ）の導関数を使用して、この反復での最大値を見つけることができます。$k$$x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$$x_i$$f(\cdot)$$x_i$

次に、nk-1座標を繰り返し修正し、ほぼ最適な座標が見つかるまでソリューションを改善します。