線形制約で凸関数を最大化する


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最大化 fバツ従う バツ=b

どこ

fバツ=Σ=1N1+バツ4Σ=1Nバツ22

及び AR M × Nをバツ=[バツ1バツ2バツN]TRN×1RM×N

が凸型であり、次の形式であることがわかりますf。またことを示すことができるFがで囲まれている[1+y2f[22]。一般に、凸最大化問題はNP困難であることを知っています。

ただし、問題の特定の性質を使用して、標準の凸最適化ソフトウェア/パッケージを使用してそれを解決することは可能ですか?


同じ「ループ変数」を使用する2つの合計が1つあります。iをどのように使用するかはコンテキストから明らかですが、明確にするために修正してください。
j_random_hacker 2018

回答:


5

はい、等式制約付きの凸最適化は一般にNP困難です。ただし、座標降下など、凸最適化問題の非常に優れた近似解を見つける成熟した技法が存在します。

座標降下を使用し、行列Aのランクがます。あなたの実行可能解のNK-1座標を修正することができ、Xは、= X 1X 2はxは3xはN、次いで一意いずれかによって決定される解空間における解ベクトル座標、例えば、xはIを。その場合、x iに関するf )の導関数を使用して、この反復での最大値を見つけることができます。kバツ=バツ1バツ2バツバツバツfバツ

次に、nk-1座標を繰り返し修正し、ほぼ最適な座標が見つかるまでソリューションを改善します。


@RodrigodeAzevedo:凸最適化の特別なケースであるLPが一般的なケースよりも簡単であることは、矛盾でも意外でもありません。
j_random_hacker
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