それ自身の派生物に等しい非自明な型はありますか？

The Regular Derivative of a Regular Typeと呼ばれる記事は、Type of One-Hole Contextsは、タイプの「ジッパー」、つまりその1ホールコンテキストが、タイプ代数の微分規則に従うことを示しています。

我々は持っています：

\begin{aligned} \partial_{x} x & \mapsto 1 \\ \partial_{x} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} (S + T) & \mapsto \partial_{x} S + \partial_{x} T \\ \partial_{x} (S \times T) & \mapsto \partial_{x} S \times T + S \times \partial_{x} T \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

このモデルを使用して、unitの導関数が無効であること、listの導関数が2つのリストの積（プレフィックスとサフィックス）などであることを導き出すことができます。

当然の質問は、「それ自体の派生物はどのタイプですか？」です。もちろん、すでにがあります。これは、void（無人型）がそれ自体の派生物であることを示していますが、それはあまり面白くありません。これは、通常の無限小計算ではゼロの導関数がゼロであるという事実に類似しています。 $\partial_x 0 \mapsto 0$

方程式には他の解決策がありますか？特に、型代数に類似物はありますか？なぜですか？ $\partial_x T \mapsto T$ $\partial_x e^x = e^x$

type-theory algebra

— マシュー・ピジアック
ソース

コンビナトリアル種の理論には、（有限）セットの種に対応するものがありますが、代数的データ型には対応していません。

— デレクエルキンズ

「等しい」とはどういう意味ですか？あなたの世界では、

と

等しいですか？どの程度

と

？

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— アンドレイバウアー

@AndrejBauer前者はい、後者はいや。

反復積に等しい

心です。そうは言っても、型の平等の厳密なモデルは頭の中にありません。モデルがあれば、それを読んでうれしく思います。

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— マシューピジアック

@DerekElkins、それはMcBrideの別の記事で、Clowns the the Left of me、Jokers to the Rightと呼ばれています。直接、すべての要素を左から右に見つけます。したがって、組み合わせ種の概念との間に重要なつながりがあります。」したがって、組み合わせ種がこの質問の文脈で何らかの興味深い役割を果たしても驚かないでしょう。

— マシューピジアック

@MatthewPiziak彼らは間違いなくそうです。ブレントヨーギーはこれについてかなり話しました。彼の論文も参照してください。

— デレクエルキンズ

回答:

有限マルチセット考えます。その要素は、によって与えられの順列によってquotiented、その結果いずれかの。そのようなものの要素のワンホールコンテキストとは何ですか？さて、私たちは持っていたしなければならない、我々は残ったまま放置されているので、穴の位置を選択する $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ 要素ですが、私たちは誰がどこにいるかについて賢明ではありません。（これはリストとは異なり、穴の位置を選択すると1つのリストが2つのセクションにカットされ、2番目の派生カットはそれらのセクションの1つを選択し、エディターの「ポイント」と「マーク」のようにさらにカットしますが、私は脱線します。）ワンホールコンテキスト $n-1$ したがって、は $\mathbf{Bag}\:X$ 、およびすべての $\mathbf{Bag}\:X$ はそのように発生する可能性があります。空間的に考えると、導関数 $\mathbf{Bag}\:X$ はそれ自体であるべきです。 $\mathbf{Bag}\:X$

さて、

B a g バツ = \sum_{n \in N} {バツ}^{n} / S_{n}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

タプルサイズ選択、要素のタプルから次数順列グループまで、級数展開を正確に与えます。 $n$ $n$ $n!$ $e^x$

単純に、一連の形状と形状に依存する位置のファミリーによってコンテナタイプを特徴付けることができます： $S$ $P$ 形状の選択と、位置から要素へのマップによってコンテナが与えられるようにします。バッグなどでは、さらにひねりがあります。

\sum_{s ： S} {バツ}^{（ P s ）}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

バッグの「形状」は、いくつかある。「位置」は、サイズ有限集合ですが、位置から要素へのマップはからの順列の下で不変でなければなりません。要素の配置を「検出」するバッグにアクセスする方法はないはずです。 $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$

East Midlands Container Consortiumは、そのような構造について、プログラム構築の数学2004のための商型による多相プログラムの構築で書きました。私たちは、このような順序なしペアとしての構造を考慮することができるように誘導体と、。順不同のタプルは与えられ、およびその微分（が順不同 $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ タプル）。バッグはこれらの合計を取ります。循環タプルで同様のゲームをプレイできます。穴の位置を選択すると回転が1つのスポットに釘付けになり、は置換なしの小さいタプル1のままになります。 $n$ $X^n/n$ $X^{n-1}$

「型の分割」は一般的に意味をなさないが、順列グループによる商（組み合わせ種のように）は意味を成し、遊ぶのが楽しい。（練習問題：数字の順不同のペアのための構造誘導原理を策定、、および建設によって、彼らがしている可換ように加算と乗算を実装するために使用します。） $\mathbb{N}^2/2$

コンテナの「形状と位置」の特性化は、どちらにも有限性を課しません。コンビナトリアル種は、形状ではなくサイズで編成される傾向があります。これは、各指数の項を収集し、各指数の係数を計算することになります。有限位置セットを持つ商コンテナと組み合わせ種は、基本的に同じ物質上の異なるスピンです。

— 養豚家
ソース

元の著者が表示されます！この美しい結果を見せてくれてありがとう。

— マシューピジアック

どのように無限の合計について誘導体である連想との和の可換性で元に等しいです。

\sum_{私 、 j \in N} {バツ}^{私} ？

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{私 、 j \in N} \underset{私 + 1}{\underset{⏟}{{バツ}^{私} + \dots + {バツ}^{私}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$

また、無限の和に等しいです私たちはリストを使用して導関数を計算するために試みることができるので、）。 $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— アンドレイ・バウアー
ソース

リストの派生物は、リストのペア（プレフィックスとサフィックス）です。合計ルールにより、リストのリストの導関数はリストのペアのリストです。リストのペアのリストはリストのリストと同型ですか？

— マシューピジアック

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

n

$n$

i

$i$