メンバーシップのクエリのすべてのサブセットをテストするためのデータ構造

次の操作を効率的にサポートするデータ構造はありますか？

1. セットを追加
2. セットのサブセットが追加されたかどうかを照会します。

これは、すべてのクエリ中にすべての追加セットをテストすることにより、線形オーバーヘッドで実装できます。より効率的に実装できますか？偽陽性/陰性の小さな確率は許容されます（ブルームフィルタースタイルなど）。

あなたのすべてのセットが有限のサブセットであるとしましょう $\mathbb N$。しましょう$S\subseteq \mathcal P( \mathbb N)$ セットのセットを示します。

次の2つの操作が必要です。

• $O_1(S,s')$：すべての $s'\subseteq \mathbb N$、 追加 $s'$ に $S$

• $O_2(S,s')$：すべての $s'\subseteq \mathbb N$、いくつかありますか $s\in S$ そのため $s\subseteq s'$？

スピードアップするためのアイデアをいくつか紹介します。

• セットが別のサブセットであるかどうかをテストするので、おそらくサイズを維持する必要があります $|s|$ 各セットの $s$ で利用可能 $O(1)$ テストする必要があるときに $s\subseteq s'$、まず、 $|s|\le |s'|$そうでない場合は、すぐにfalseを返すことができます。そして、あなたは確かに持っています$|s|\le |s'|$、その後、通常の低速テストを実行します。

• あなたが持っている場合は注意してください $s_1\in S$ そして $s_2\in S$、 そのため $s_1\subseteq s_2$、その後 $s_2\subseteq s'$、あなたも持っています $s_1\subseteq s'$。だからあなたは保つ必要はありません$s_2$ に $S$ ために $O_2$。だからあなたは表すことができます$S$ セットのセットによって $s\in S$ そして $s\subsetneq s'$ 意味する $s'\not \in S$。言い換えれば、あなただけのセットを追跡する必要があります$S$含めるのは最小限です。これはかなり効率的に実装できます：セットを追加するとき$s'$、すべてのセット $s\in S$ そのため $|s|\le |s'|$ （枢機卿の昇順で並べ替え） $s\subseteq s'$、次に追加しないでください $s'$ 最小限ではない（またはすでに存在するため） $S$）。それ以外の場合は、$s'$ そしてセットの間で $s\in S$ そのため $|s'|<|s|$、それらを削除して、 $s'\subseteq s$ （それらはもはや最小ではないため）。

• セットを保つ $t$ それはすべてのセットの和集合に等しい $S$。次に、実行する代わりに$O_2(S,s')$、実行できます $O_2(S,s'\cap t)$ 代わりに（一部の場合 $s\in S$、 $s\subseteq s'$、それ以来 $s\subseteq t$、 $s\subseteq s'\cap t$ で、もし $s\subseteq s'\cap t$、その後 $s\subseteq s'\cap t \subseteq s'$）。

これらのアイデアを念頭に置いて、私は代表します $S$ 辞書（ペアの二重リンクリストとして実装） $(key,value)$ キーの昇順で） $d$ そのため $d(k)$ に含まれる最小限の（含まれる）セットを正確に含む二重リンクリストです $S$ 枢機卿の $k$。

O1(S,s')
  if O2(S,s')
    return
  if d(k) doesn't exist
    d(k) := new_doubly_linked_list()
  add(d(k),s')
  S.t := union(S.t, s')
  for each key k of d so that |s'|+1 <= k
    for s in d(k)
      if subset(s', s)
        remove s

_O2(S,s')
  for each key k of d so that k <= |s'|
    for s in d(k)
      if subset(s,s')
        return true
  return false

O2(S,s')
  return _O2(S,inter(S.t,s'))

（私がのコードで明示的にそれをしなかったとしても、をO1表す二重にリンクされたリストの単一のトラバーサルを行うことができることに注意してくださいd）

最悪の場合、あまり改善しないと思いますが、平均的には改善するはずです。