計算可能な関数ごとに同等の演算回路はありますか？

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計算可能な関数ごとに同等の演算回路はありますか？

私は上記の発言に頭を抱えていますが、その発言は誤りであると思いますが、反例は見つかりませんでした。

私が不思議に思ったのは、プロトコル（暗号化プロトコル理論）は計算可能な関数を計算できるが、その関数を算術回路として指定する必要があるといういくつかの定理を読んだことです。

— Shuzheng
ソース

演算回路は多項式のみを計算できます

— Ariel

@Ariel-多項式とは何かを趣味として小さな暗号を研究しているプログラマーに説明できますか？:-)

— Shuzheng

演算回路は、有限個の入力で関数を計算します。彼らはすべての多項式を計算できます。

— Yuval Filmus

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演算回路は、入力で多項式を計算します。いくつかのフィールドにわたって演算回路と変数と総次数関数を計算することができる $\mathbb{F}$ $n$ $d$ $f:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}$ フォームの：

f （ {バツ}_{1} 、 。 。 。 、 {バツ}_{ん} ） = \underset{私_{1} + 。 。 。 + 私_{ん} \leq d}{Σ} α_{私_{1} 、 。 。 。 、 私_{ん}} \cdot {バツ}_{1}^{私_{1}} {バツ}_{2}^{私_{2}} 。 。 。 {バツ}_{ん}^{私_{ん}}

$f(x_1,...,x_n)=\sum\limits_{i_1+...+i_n\le d}\alpha _{i_1,...,i_n}\cdot x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n}$

どこ $\alpha _{i_1,...,i_n}\in\mathbb{F}$ 多変量多項式の係数です。

多項式として表現できない多くの計算可能な関数があります。 $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ それは $1$ で $x=0$ そして、他のすべての場所でゼロ。以来 $f$ ゼロの無限数を持つ非定数であり、単変量多項式として書くことはできません。

— アリエル
ソース

総次数dとは何ですか？

— Shuzheng 2017年

パワーの最大合計

i_{1} + . . . + i_{n}

$i_1+...+i_n$ そのような単項式

x_{1}^{i_{1}} . . . x_{n}^{i_{n}}

$x_1^{i_1}...x_n^{i_n}$ 回路によって計算された関数にゼロ以外の係数が表示されます。これは、すべての算術回路が多項式を計算することをすでに想定していることに注意してください。ただし、これは帰納法によって簡単に示すことができます。

— アリエル

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固定長入力の計算可能なブール関数は、算術回路で計算できます。ブール関数を検討する $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ 。次に、多変量多項式が存在します $p(x_1,\dots,x_n)$ そのような $f(x_1,\dots,x_n) = p(x_1,\dots,x_n)$ すべてのために $x_1,\dots,x_n$ 、ここで算術は2を法として（つまり、フィールド上で）行われます $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ ）。これで、すべての多変量多項式を算術回路で計算できるため、 $f$ 演算回路で計算できます。

ある意味で、固定長の入力への制限は避けられません。これは、回路には本質的に固定数の入力と固定数の出力があるためです。したがって、ブール関数に焦点を当てることを決定すると、暗号の文献で見たステートメントが正当化されます。回路によって計算できるブール関数は、算術回路によって計算できます。そして、あらゆる計算可能なブール関数は算術回路によって計算することができます。ここで「計算された」とは、入力長ごとに1つの算術回路のファミリーがあることを意味します（不均一モデル。これを使用して計算する場合、これは避けられません。 1つの回路は固定の入力長さしか持てないため）

— DW
ソース