線形限定チューリングマシンが有限状態オートマトンよりも強力なのはなぜですか？

私たちのコンピューターは有限であるため、最終的には（非常に大きな）有限状態マシンほど強力ではないという印象を受けました。ただし、線形制限付きチューリングマシンも有限ですが、通常の言語は厳密に文脈依存型言語の不適切なサブセットであるようです。

明らかに、ここに何かが足りません。何が起こっている？

finite-automata computation-models linear-bounded-automata

— ベンI
ソース

回答:

線形有界チューリングマシンは、長さが入力の長さの一次関数であるテープに制限されます。

長さの制限が一定である場合、マシンはDFAと同じくらい強力です。ただし、DFAはより長い入力に対処するためにより多くの状態を成長させることができません。これは、実質的にLBTMが実行できる（状態をマシン構成全体にする）ので、LBTMは厳密により強力です。

— リチ
ソース

これに関連する興味深い結果があります。スペースで実行されるすべてのTuringマシンは、通常の言語を受け入れます。

o (\log \log n)

$o(\log \log n)$

— skankhunt42 2017

@ skankhunt42、なぜですか？

— ベンI。17年

@ skankhunt42：私が間違っている場合は私を修正しますが、スペースで実行されるすべてのTM は実行する必要があります時間。しかし、時間で実行されるTMが時間で決定できる言語を決定することを示すことは難しくありません。次に、定数があり、入力の最初の文字が入力が言語であるかどうかを決定します。ただし、言語は明らかに規則的です。に各プレフィックスの状態を含めるだけです。何か不足していますか？私の間違いはどこですか？

k \log \log n

$k \log \log n$

2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^{k} n)} = \log^{k} n

$2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^k n)} = \log^k n$

o (n)

$o(n)$

O (1)

$\mathcal O(1)$

c \in N

$c \in \mathbb N$

c

$c$

⋃_{0 \leq i \leq c} {0, 1}^{i}

$\bigcup_{0 \leq i \leq c} \{ 0, 1 \}^i$

— wchargin

@Choirbean交差シーケンスを使用した証明が必要です。ここcs.stackexchange.com/questions/7372/…で調べることができます。

— skankhunt42

私は間違いでTMを実行することを主張するかもしれないと思う@wchargin

あなたが構成の数をカウントしながらも、入力テープの先頭位置を検討する必要があるため時間。したがって、TMは時間

実行されると思い

。

2^{k \log \log n}

$2^{k \log \log n}$

n 2^{k \log \log n}

$n 2^{k \log \log n}$

— skankhunt42 2017

最初にマシンの説明と入力サイズを理解して、有効なオブジェクトのみを比較できるようにする必要があると思います。言ってみましょうNは、入力サイズです。つまり、マシンにはこれらのリソース境界があります。

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

$\mathcal{M}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A^{'} & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M \times 2^{N} & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f}^{'} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A'} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M \times 2^N & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell'_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

$\mathcal{A}'$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{A}'$ $N$ $\mathcal{A}$ $N$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{M}$

— デベンドラ・ベイブ
ソース