チューリングマシンに関連する興味深い計量空間

この質問では、すべての入力で停止するチューリングマシンのみを考慮します。もし、その後によって我々は、そのコードであるチューリングマシン表す。T K$k \in \mathbb{N}$$T_k$$k$

次の機能を検討してください

つまり、$s(x,y)$は、ストリングx、yの 1つを正確に認識する最小のチューリングマシンのコードです。$x,y.$次のマップを定義できます

$d(x,y)$が\ Sigma ^ {*}にメトリック空間（実際にはウルトラメトリック）を誘導することをすぐに確認できます$\Sigma^{*}.$

ここで、$f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$が一様に連続する関数である場合、すべての再帰言語Lに対して、$f^{-1}(L)$も再帰的であることを証明したいと思います。

言い換えれば、$f$をすべての$\epsilon > 0$に対して$\delta > 0$ようなマップとし、文字列$x,y \in \Sigma^{*}$

この投稿で既に述べたように、問題にアプローチする1つの方法は、文字列x \ in \ Sigma ^ {*}がf（x）を$x \in \Sigma^{*}$計算するチューリングマシンがあることを示すこと$f(x).$

私はこの主張を証明し、これを解決する他のアプローチがあるかどうかゆっくりと疑問に思っていますか？

ヒント、提案、解決策は大歓迎です！

編集：ヒントを削除し、私のソリューションを投稿しました。

これが私の解決策です。私たちは、基準点選択しようとしているどことから宇宙考えるとビューののポイントを。ポイントのすべての「近傍」が再帰言語に対応していることがわかります。したがって、は周囲の近傍であり、それにマッピングされる周囲には近傍があります。この近所は再帰的な言語です。$x$$f(x) \in L$$x$$f(x)$$L$$f(x)$$x$

補題。この空間では、言語が再帰的であるのは、各文字列の近傍である場合に限ります。

証明。最初に、再帰言語を修正し、ます。してみましょうための決定器の最小インデックスで。そして、、であれば、ます。したがって、はことを意味します。$L$$x \in L$$K$$L$$y \not \in L$$s(x,y) \leq K$$d(x,y) \geq 1/2^K$$d(x,y) < 1/2^K$$y \in L$

次に、任意の文字列とし、を修正します。聞かせて。LET。次いで。次に書くことができます$x$$\varepsilon > 0$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$$L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

しかし決定可能である：入力では、まずシミュレートすることができる上decidersとし、受け入れる場合は、それぞれがいずれかの両方を受け入れ、またはその両方を拒否した場合にのみ。$L_K$$y$$K$$x$$y$$~\square$

これでほぼ完了です。

提案を連続とする。場合再帰的であり、その後再帰的です。$f$$L$$f^{-1}(L)$

証明。連続関数では、近傍の前画像は近傍です。

興味深いことに、この空間では連続関数は一様に連続であると思います：を連続とするため、各点、各に対応するが存在します。を修正し、ます。サイズ有限数のボールがありますます。そこである、次になどのようになります。はこれらの各言語関連付けられます$f$$x$$\varepsilon$$\delta$$\varepsilon$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$\varepsilon$$L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$$\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$$L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$$f$$L_i$プリイメージ言語関連直径。各、。したがって、この関連付けられた均一な連続定数を取得するために、これらの有限数の最小値を取ることができます。$L_i^{\prime}$$\delta_i$$x \in L_i^{\prime}$$d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$$\delta$$\delta$$\varepsilon$