有向非巡回グラフの推移閉包を取得するための効率的なアルゴリズム

グラフの問題を解決しようとしています（宿題ではなく、単にスキルを練習するためです）。DAGが与えられます。ここで、は頂点のセット、はエッジです。グラフは隣接リストとして表されるため、はすべての接続を含むセットです。私の仕事は、各頂点から到達可能な頂点を見つけることです。私が使用するソリューションは複雑さを持ち、 推移的閉包を持ちますが、ブログで読むと高速になる可能性がありますが、方法は明らかになりませんでした。DAGの推移的閉包問題を解決する別の方法（より複雑な方法）を教えてもらえますか？$G(V,E)$$V$$E$$A_v$$v$$v\in V$$O(V^3)$

グラフが非周期的であるという事実により、この問題ははるかに単純になります。

トポロジカルソートでは、頂点順序付けを行うことができ、i < jの場合、v jからv iに戻るエッジはありません。リスト内のすべてのエッジが「進む」ように頂点をリストしました。$v_1,v_2,\dots,v_n$$i < j$$v_j$$v_i$

（分析を修正し、わずかに高速なアルゴリズムを提供するように編集）

最後の頂点から始めて、このリストを逆方向にたどっていきます。v nの推移閉包はそれ自体です。また、追加のV nとのエッジにすべての頂点の推移閉包にV N。$v_n$$v_n$$v_n$$v_n$

他の各頂点について、末尾から逆向きに移動し、最初にv iをそれ自身の推移閉包に追加し、次にv iの推移閉包内のすべてを、エッジがv iのすべての頂点の推移閉包に追加します。$v_i$$v_i$$v_i$$v_i$

実行時間は最悪の場合でn個の頂点の数M ∈ O （N 2）エッジの数。トポロジカルソートにはO （n + m ）時間かかります。次に、逆方向パスで別のO （m n ）作業を行います。リストを逆方向に進むと、各エッジに対して、nを加算する必要があります$O(n+m+nm) = O(n^3)$$n$$m \in O(n^2)$$O(n+m)$$O(mn)$$n$ 誰かの推移的閉包の頂点。

全員の推移的閉包をビット配列で表すことにより、一定の係数で高速化できることに注意してください。しかなかったとします。次に、iが推移的閉包にある場合はビットiが1 で、それ以外の場合は0である単一の64ビットintを使用します。その後、我々はすべてのものを追加部分I「にsの推移閉包J s」は本当に速いです：私たちはちょうど取るのC jは | = C I。（バイナリOR演算。）$n=64$$i$$i$$i$$j$$c_j$$c_i$

以下のため、あなたは配列でそれらを維持し、いくつかの算術演算を行う必要があるだろうが、それははるかに高速オブジェクトの集合よりなります。$n > 64$

また、非常に最悪の場合のbig はまだO （n 3）であることがわかりますが、実際にこれを破るには、もっと複雑なものが必要です。このアルゴリズムはまばらなグラフでも非常にうまく機能します。$O$$O(n^3)$