ツリー幅の2つの定義の同等性

ツリー幅：

1）和音グラフ：グラフ和音完成における最大クリーク -1のサイズ。$(\omega (G))$$G$

2） ツリー分解により：

のツリー分解は、ツリー（は異なるノードセット上）と、各ノードに関連付けられたサブセットで構成されます。（これらのサブセットツリー分解の「断片」と呼びます。）これを時ペアと書くこともあります。ツリーTとピースのコレクションは、次の3つのプロパティを満たしている必要があります$G = (V , E)$$T$$G$$V_t ⊆ V$$t$$T$$V_t$$(T , {V_t : t ∈ T })$$\{V_t : t ∈ T \}$

（ノードカバレッジ）すべてのノードは、少なくとも1つのピース属します。$G$$V_t$

（エッジカバレッジ）は、すべてのエッジについての、いくつかの部分があるの両端を含む。$e$$G$$V_t$$e$

（コヒーレンス）う及びの3つのノードであるようからの経路上にあるに。次に、ノードがと両方に属している場合、それはも属してい$t_1, t_2,$$t_3$$T$$t_2$$t_1$$t_3$$v$$G$$V_{t_{1}}$$V_{t_{3}}$$V_{t_2}$

したがって、ツリー分解の幅を、すべてのピース（すべての）の最大サイズよりも1つ小さくなるように定義します。 $(T , {V_t })$$V_t$$t$

主張1：グラフの和音分解における最大のクリークのサイズが場合、ツリー分解によってツリー幅が得られます。$k$$k$

証明：コードの完了グラフの最大クリークサイズがであると仮定します。したがって、（エッジカバレッジのため）クリークを含むバッグ（グラフの頂点のサブセット）が存在します。これで完了です。$k$

クレーム2：ツリー分解法によってツリー幅が場合、弦の完了法によっても$k$$k$

質問：クレーム2の証明方法は？高レベルの証明を歓迎します。

最初に、質問で述べられているように、主張は誤りであることに注意してください：次のグラフを考えてください：

$\begin{matrix} & & 2& - & 3\\ & \diagup\\ 1 & & | & & |\\ & \diagdown \\ & &4 &-& 5 \end{matrix}$

つの頂点の完全なグラフは、このグラフの和音の完成です。ただし、このグラフにはツリー幅ます。（分解は、、）$5$$2$$\{1,2,4\}$$\{2,3,4\}$$\{3,4,5\}$

正しい主張は

of のツリー幅は、グラフ最小最大クリークを含む和音補完における最大クリークのサイズです。$G$$\omega(G) - 1$$G$

ここでの証明は次のとおりです。ツリー分解によるのツリー幅が場合、すべてのツリー分解には少なくとものサイズのバッグがあります。私たちは、の概念を使用区切りグラフをからパーラとシェフラーによる紙特にの区切りグラフ内のすべての最大クリークという事実、の木分解である（これはそれらと木分解の定義を比較して見ることができます論文中）$G$$k$$k$$G$$G$

次に、同じ論文の定理4.7によって、すべての最小限の和音の完了には、いくつかのツリー分解のすべてのバッグがクリークとして含まれます。これは、すべての最小和音補完がサイズクリークを持っていることを意味します。したがって、和音補完メソッドも木幅を与えます。$^*$$G$$G$$k$$k$$\square$

*：表記で言い換えると、定理4.7は次のように述べています。

グラフ最小の弦完了である場合にのみグラフである正確エッジが内のすべての頂点セットなるように添加してクリークです。ここで、は、の最小セパレータで構成されるセパレータグラフの最大クリークです。$H$$G$$H$$G$$\mathcal{S}$$\mathcal{S}$$G$

基本的なテクニックだけを使って証明を見つけようとしましたが、より深い理論がなければ簡単な証明を見つけるのは簡単ではないと思います。