はなぜ

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$3^n = 2^{O(n)}$ は明らかに真です。は2を底とする指数関数よりも速く成長するので、それは誤りだと思いました。 $3^n$

どのように真？ $3^n = 2^{O(n)}$

asymptotics landau-notation

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表記の乱用に注意してください！

— ラファエル

3^{n} = 2^{O (n)}

$3^n = 2^{O(n)}$ 意味がわかりません。最初私はそれを変更し

3^{n} \in 2^{O (n)}

$3^n \in 2^{O(n)}$ Iは、これは意味が再び見た後、。IMOの質問は無意味です。

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それはです非常に書き込みに共通の

厳密な意味ではどうあるべきかについて

。あまりにも一般的であるため、表記の乱用とは考えられません。

f (x) = O (g (x))

$f(x)=O(g(x))$

f (x) \in O (g (x))

$f(x)\in O(g(x))$

— David Richerby 2013

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代数を使用して（および定数を変更して）、実際に基底を変更できます。 $O(n)$

3^{n} = (2^{\log_{2} 3})^{n} = 2^{n \log_{2} 3}

$3^n = (2^{\log_2 3})^n = 2^{n\log_2 3}$

以来、定数であり、。したがってです。 $\log_2 3$ $n\log_2 3 = O(n)$ $3^n = 2^{O(n)}$

「は、底が2の指数関数よりも速く成長する」という意味がわかりません。もちろんですが、もっと一般的なことを意味しているようです。私の推測では、ステートメントはようなものに適用され、は指数の数値に定数を乗算するのに対し、基底は定数を乗算します。 $3^n$ $2^n = o(3^n)$ $O(3^n)$ $2^{O(n)}$

— SamM
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は、底が指数関数よりも速く成長します。 $3^n$ $2$

そうだね。これは、は真ではないことを意味します。しかし、ここにあるのはです。 $3^n = O(2^n)$ $2^{O(n)}$

リコールその本当に機能の集合であり、厳密に言えば、私たちが書いされなければならない（あるいは）。右側は関数の指数ではなく、一連の関数の指数です。ビッグオーの定義を拡張する： $O(f(n))$ $3^n \in 2^{O(n)}$ $(n \mapsto 3^n) \in 2^{O(n \mapsto n)}$

2^{O (n)} = 2^{{f ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}} = {(n \mapsto 2^{f (n)}) ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}

$2^{O(n)} = 2^{\{f \;\mid\; \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}} = \{(n \mapsto 2^{f(n)}) \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}$

指数関数以来増加している、我々は指数関数のうちの不平等を持ち上げることができます。 $n \mapsto 2^n$

2^{O (n)} = {g ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, g (n) \leq 2^{p n}}

$2^{O(n)} = \{g \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, g(n) \le 2^{p \, n}\}$

対照

O (2^{n}) = {g ∣ \exists N, \exists k, \forall n \geq N, g (n) \leq k 2^{n}}

$O(2^n) = \{g \mid \exists N, \exists k, \forall n \ge N, g(n) \le k \, 2^{n}\}$

で、乗法定数は指数内にあります。、それは指数関数により乗算されます。 $2^{O(n)}$ $O(2^n)$ 我々は持っているので、（いずれかの）、すなわち我々が取ることができと示し、その。 $2^{p \, n} = 2^p 2^n$ $n \ge 0$ $3^n \le 2^{\log_2 3} 2^n$ $N = 0$ $p = \log_2 3$ $3^n \in 2^{O(n)}$

— ジル 'SO-悪をやめる'
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実際には真であるあなたがリコール場合ので、の定義を、あなたはどの定数によって乗算/追加できることがわかります。そう： $3^n=2^{O(n)}$ $O(n)$

// $3^n < 2^{kn}$ $\log_2$

$n\log_2(3^n) < kn\log_2(2)$

$k > \log_2(3)$

$2^{kn}$ $3^n \iff k > \log_2(3)$

— バルトシュ・プリジビルスキ
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