言語の決定可能性

$L_1$ いくつかのアルファベットに対して再帰的に列挙可能な言語です $\Sigma$ 。アルゴリズムは、その単語をとして効率的に列挙し。は上の別の言語で、として以下のアサーションを検討してください。 $w_1, w_2, ...$
$L_2$ $\Sigma \cup \{\#\}$ $\{w_i\#w_j : w_i, w_j \in L_1, i < j\}$

$L_1$ が再帰的であることは、が再帰的であることを意味し $L_2$

$L_2$ が再帰的であることは、が再帰的であることを意味します $L_1$

どのステートメントが真実ですか？

私は両方の声明が真実であると推論した。

ステートメント1はtrueです。は再帰的であり、辞書式に文字列を列挙できます。メンバーシップ質問簡単に決定者との辞書式列挙子使用して決済できる。 $L_1$ $L_2$ $L_1$

ステートメント2は真です。決めるアルゴリズム $L_2$ 入力文字列がいずれかと一致する場合に受け入れるように変更できます $w_i$ または $w_j$ 。これにより、次のメンバーシップに関する質問が解決します $L_1$ 。

ただし、この質問に対する所定の解決策では、ステートメント2は誤りであると述べています。私の推論がどこか間違っているかどうか教えていただけませんか？

formal-languages computability

— アブヒジス・マダブ
ソース

「どちらかに一致

w_{i}

$w_i$ または

w_{j}

$w_j$ "-そのため

i

$i$ それぞれ。

j

$j$ ？

— ラファエル

@Raphael、それは決定するアルゴリズムが

L_{2}

$L_2$ 入力文字列が

w_{i}

$w_i$ または

w_{j}

$w_j$ の

w_{i} # w_{j}

$w_i\#w_j$ の文字列の形式

L_{2}

$L_2$ 。

— Abhijith Madhav

しかし、それはどこで入手できますか

w_{i} # w_{j}

$w_i\#w_j$ ？あなたはただそれを探しに行くことはできません、それはあなたに列挙可能性を与えるだけで、決定可能性を与えません。（あなたはここで本当に正確でなければなりません！）

— ラファエル

の列挙を変更することはできません

L_{1}

$L_1$ ステップ1では、列挙型から切り替えると、ステップ1の推論に誤りがあります。

w_{i}

$w_i$ 辞書式列挙に。

— Andrej Bauer

あなたはそれをすることはできません。問題のステートメントは、列挙するためのアルゴリズムを提供します

L_{1}

$L_1$ そしてあなたはの定義でそれを使用する必要があります

L_{2}

$L_2$ 。問題の説明を誤解している。

— Andrej Bauer、

回答:

あなたは正しいようです。しかし、ラファエルが言うように、注意してください。

ステートメント1。 $L_2$ 列挙アルゴリズムを使用して定義されている $\cal E$ ために $L_1$ 、ではない $L_1$ 自体。かどうかを決定するには $u\#v \in L_2$ 、両方かどうかを決定 $u,v$ に $L$ 、確認された場合は列挙子を実行します $\cal E$ かどうかを確認します $u$ 前に出力されます $v$ 。私たちが知っているように、両方の文字列が $L_1$ これは終了します。

ステートメント2.場合 $L_1$ 有限であり、再帰的であるため、 $L_1$ 無限です。走る $\cal E$ そして最初の言葉を待つ $w_1$ 。今の決定者 $L_2$ のために一つに変えることができます $L_1$ 次のように。テストする $u\in L_1$ 最初に $u=w_1$ 、次にチェック $w_1\#u \in L_2$ 。これは次と同等です $u\in L_1$ 私たちは心配する必要がないので $i<j$ 要件によって異なります。

知る必要があるかどうかさえわからない $w_1$ 実行することにより $\cal E$ ：決定者が存在することを確認したいだけで、効果的に構築できるかどうかは確認しません。それは不可能のようです。

（編集）Raphaelがこれらの提案のより明確な「実装」を投稿したことに注意してください。これにより、あいまいさを回避できます。

— ヘンドリック・ヤン
ソース

ステートメント2について：

w_{1}

$w_1$ ハードコーディングすることができ、その後、

L_{1}

$L_1$ 再帰的に列挙可能です。

— Yuval Filmus

依存する; 私たちはそれを知りません

E

$\cal{E}$ 繰り返されません。もしそうなら、

w_{1} # w_{1} \in L_{2}

$w_1\# w_1 \in L_2$ 結局。それを決めることはできません

w_{1}

$w_1$ 繰り返されることはありません。もちろん、繰り返さない列挙子は常に存在しますが、

L_{2}

$L_2$ 具体的には

E

$\cal{E}$ 私たちが持っていると仮定するのは公平ではありません。

— ラファエル

ここでは確認しません

w_{1} # w_{1}

$w_1\#w_1$ 問題を回避するため。入力

u

$u$ 「手動」でチェックされる

w_{1}

$w_1$ 。それとは別に、定式化は繰り返しなしで列挙を提案します。あなたのコメントからです。

— Hendrik Jan

@HendrikJanなぜチェックするのか説明しました

u = w_{1}

$u=w_1$ を拒否するのに十分ではありません

u

$u$ 一般に。この定式化は、繰り返しなしの列挙を示唆していません。実際、OPは、与えられた解決策があなたの答えに矛盾していると言っています。

— ラファエル

自分自身を部分的に混乱させたかもしれません。私は自分で回答を投稿しましたが、これはあなたが意図したものと同等だと思います。その過程で、最初の声明の証明に問題を見つけたと思います。

— ラファエル

広告1：ステートメントは真実ですが、あなたの推論はそうではありません。列挙を変更することはできません。の定義 $L_2$ 要素の順序と密接に関連しています。これは決定する簡単なアルゴリズムです $L_2$ ：

decide2(w) = {
  (u,v) = split (w,#) // w = u#v

  if ( decide1(u) && decide1(v) ) {
    i = 1
    while ( true ) {
      if ( enumerate1(i) == u ) {
        return true
      }
      else if ( enumerate1(i) == v ) {
        return false
      }
      i += 1
    }   
  }

  return  false
}

ここでdecide1、決定者は $L_1$ そしてenumerate1の列挙子です $L_1$ 、どちらも想定によって存在します。whileループは常に終了することに注意してください。その時点で、私たちはそれを知っています $u,v \in L_1$ したがって、ループはそれら（実際には、最初に発生するもの）を最終的に検出します。

広告2：このステートメントは確かに真実ですが、ここでも、あなたが述べるのとは異なる理由があります。

もし $L_2$ 再帰的であり、次のプログラムは計算可能であり、 $L_1$ ：

decide1(w) = {
  w1 = enumerate1(1)
  if ( w == w1 ) }
    return true
  }
  else {
    return decider2(w1#w)
  }
}

もし $w = w_1$ 、私たちは明らかに持っています $w \in L_1$ そして、プログラムは正しく決定します。もし $w \in L_1 \setminus \{w_1\}$ 、あります $i > 1$ そのような $w_i = w$ 、したがって $w_1\#w \in L_2$ ; 逆に、 $w \not\in L_1$ 、そのようなはありません $i$ したがって $w_1\#w \not\in L_2$ 。プログラムは、すべての場合に正しく判断します。

— ラファエル
ソース

考えてみると、最初のアルゴリズムには欠陥があります。列挙に繰り返しがある場合、最初の発生が理由で入力を拒否できません

u, v

$u,v$ 順序が間違っています。

— ラファエル

パッチを当てる望みはありません。単語が2回出現するかどうかを判断する方法はありません

u

$u$ （確認後にも発生します

v

$v$ ）。しかし、問題は問題2には困難があったと言いました。問題1ではありません:)

— Hendrik Jan

@ラファエル、「列挙を変更することはできません」という意味がわかりません。どの列挙を変更しましたか？ステートメント1が真であるという私の推論は、まさにあなたが上記の回答で書いたものです。の決定者を使用した後

L_{1}

$L_1$ 決定する

u

$u$ そして

v

$v$ 、あなたは列挙子を使用して

u

$u$ 前に列挙されています

v

$v$ 。あなたはの列挙子を期待しているので、これではありません

L_{1}

$L_1$ 辞書式で列挙するには、ステートメント1の仮説で次のようになります。

L_{1}

$L_1$ 再帰的ですか？

— Abhijith Madhav

@Raphael、あなたの次のコメントは私をもっと混乱させています。なぜあなたは今、

u, v

$u, v$ 列挙に繰り返しがある場合、順序が間違っている可能性があります。なので

L_{1}

$L_1$ 再帰的であり、列挙には

u, v

$u, v$ 間違った順序で。私はテキストブック（sipser）を参照しただけで、「再帰は辞書式に列挙可能であることを意味する」が正しいことを確認しています。

— Abhijith Madhav 2012

@Abhijithあなたがあなたの質問に書いたことから、辞書式列挙があることをどのように利用するかは正確には明らかではありません。列挙型が定義しているとは限りません

L_{2}

$L_2$ 辞書式であり、あなたがそれをしたかのようです。

— ラファエル