最悪の場合、このソートアルゴリズムはΘ（n³）であり、Θ（n²）ではありませんか？

データ構造とアルゴリズムの講座を始めたばかりで、ティーチングアシスタントは整数の配列を並べ替えるための次の擬似コードを提供してくれました。

void F3() {
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (A[i-1] > A[i]) {
            swap(i-1, i)
            i = 0
        }
    }
}

明確ではないかもしれませんが、ここではソートしようとしている配列のサイズです。$n$A

いずれにしても、ティーチングアシスタントはクラスにこのアルゴリズムは時間（最悪の場合、私は信じている）であると説明しましたが、逆に並べ替えられた配列で何度も調べても、私には、ではなくであるように思われます。Θ （n 2）Θ （n 3$\Theta(n^3)$$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

誰かがこれが$Θ(n^3)$ではなくΘ（n ^ 3）である理由を説明でき$Θ(n^2)$ますか？

このアルゴリズムは次のように書き直すことができます

1. 反転Aが見つかるまでスキャンします。
2. 見つかったら、交換してやり直してください。
3. 存在しない場合は終了します。

現在、最大で反転があり、それぞれを見つけるために線形時間スキャンが必要です-最悪の場合の実行時間は。多くの人が負けているパターンマッチングアプローチをトリップする美しい教育の例！$\binom{n}{2} \in \Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

ベーネ注意：一つは、少し注意する必要があります。（下限のために）記載のコストがアップ追加すること自体は簡単ではありませんので、いくつかの反転は、いくつかの後半、早期に表示されます。また、スワップによって新しい反転が発生することはありません。逆に並べ替えられた配列を使用したケースのより詳細な分析では、ガウスの式の2次のケースのようなものが得られます。

@ gnasher729が適切にコメントしているように、入力ソートする際の実行時間を分析することにより、最悪の実行時間がであることが簡単にわかります。（この入力はおそらくありませんが、最悪の場合）。$\Omega(n^3)$$[1, 2, \dots, n, 2n, 2n-1, \dots, n+1]$

注意してください：逆に並べ替えられた配列が、すべての並べ替えアルゴリズムの最悪の入力であると必ずしも仮定しないでください。それはアルゴリズムに依存します。逆ソートされた配列が最悪のケースではなく、最良のケースに近い場合もあるソートアルゴリズムがいくつかあります。

これについての別の考え方iは、リセットされる前の最大値が何になるかということです。これにより、結果として、前のソート順がAアルゴリズムの実行時間にどのように影響するかをより簡単に推論できます。

特に、i新しい最大値を設定するときにNと呼び、配列[A[0], ..., A[N-1]]が昇順で並べ替えられることに注意してください。

では、要素A[N]をミックスに追加するとどうなりますか？

数学：

さて、位置に収まるとし。次に、を配置するためにループの反復（）が必要を配置するために反復を配置します。$p_N$$N$$\text{steps}$$N-1$$N + (N-1)$$N-2$

$$\text{steps}_N(p_N) = N + (N-1) + (N-2) + \dots + (p_N+1) = \tfrac{1}{2}(N(N+1) - p_N(p_N+1))$$

ランダムに並べ替えられた配列の場合、は、各に対しての一様分布を取ります。$p_N$$\{0, 1,\dots, N\}$$N$

$$\mathbb{E}(\text{steps}_N(p_N)) = \sum_{a=1}^{N} \mathbb{P}(p_N = a)\text{steps}_N(a) = \sum_{a=1}^{N}\tfrac{1}{N}\tfrac{1}{2}(N(N+1) - a(a+1)) = \tfrac{1}{2} ( N(N+1) - \tfrac{1}{3}(N+1)(N+2)) = \tfrac{1}{3} (N^2-1) = \Theta(N^2)$$

合計は、Faulhaberの式または下部のWolfram Alphaリンクを使用して表示できます。

逆にソートされた配列の場合、すべてのに対してになり、次のようになります。$p_N=0$$N$

$$\text{steps}_N(p_N) = \tfrac{1}{2}N(N+1)$$

正確に、他の値よりも厳密に長くます。$p_N$

すでにソートされた配列の場合、およびで、下位の用語が関連します。$p_N = N$$\text{steps}_N(p_N) = 0$

合計時間：

合計時間を取得するために、すべてのステップを合計します。（私たちが細心の注意を払っていた場合、スワップとループの反復を合計し、開始条件と終了条件を処理しますが、ほとんどの場合、それらが複雑さに寄与しないことは比較的簡単にわかります） 。$N$

繰り返しになりますが、期待の線形性とフォーハーバーの公式を使用します。

$$\text{Expected Total Steps} = \mathbb{E}(\sum_{N=1}^n \text{steps}_N(p_N)) = \sum_{N=1}^n \mathbb{E}(\text{steps}_N(p_N)) = \Theta(n^3)$$

もちろん、何らかの理由でがはない場合（たとえば、私たちが見ている配列の分布がソートされていることに既に近い場合）、これは必ずしも必要ではありませんそうです。しかし、これを実現するには非常に特殊な分布がです！$\text{steps}_N(p_N)$$\Theta(N^2)$$p_N$

関連する読書：

• https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+a(a%2B1)+from+a%3D1+to+a%3DN
• https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula-フォーハーバーの式

免責事項：

これは証拠ではありません（一部の人々は、私がそれをあたかもそれがあったかのように投稿したと思うようです）これは、OPが割り当てに関する疑問を解決するために実行できる小さな実験です。

逆に並べ替えられた配列を何度使用しても、ではなくであるように思われます。$Θ(n^2)$$Θ(n^3)$

このような単純なコードでは、との違いを見つけるのは難しくありません。多くの実際の場合、これは予測を調整したり、期待を調整したりするのに便利な方法です。$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

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@Raphaelは既にあなたの質問に答えましたが、キックのためだけに、このgnuplotスクリプトを使用してこのプログラムの出力をにと、指数値およびが報告され、次のプロットが生成されました（ 1つ目は通常のスケールで、2つ目は対数目盛です）：$f(x) = a\cdot x^b + c\cdot x$$2.99796166833222$$2.99223727692339$

これが役立つことを願っています$\ddot\smile$

配列があると仮定します。

array a[10] = {10,8,9,6,7,4,5,2,3,0,1}

アルゴリズムは次のことを行います

Scan(1) - Swap (10,8) => {8,10,9,6,7,4,5,2,3,0,1}  //keep looking at "10"
Scan(2) - Swap (10,9) => {8,9,10,6,7,4,5,2,3,0,1}
...
Scan(10) - Swap(10,1) => {8,9,6,7,4,5,2,3,0,1,10}

基本的には、最も高い要素の配列の最後にO(n^2)移動します。その際、各スキャンで最初からやり直します。ただし、n個の要素があるため、このn回数を繰り返す必要があります。これは正式な証拠ではありませんが、実行時間がなぜであるかを「非公式」な方法で理解するのに役立ちますO(n^3)。

ロジックは、配列内の要素を昇順で並べ替えているようです。

最小数が配列の末尾にあると仮定します（a [n]）。それが正しい場所に来るためには-（n +（n-1）+（n-2）+ ... 3 + 2 + 1）操作が必要です。= O（n2）。

配列内の単一の要素には、O（n2）opsが必要です。したがって、要素の数はO（n3）です。