システムF（および他の純粋な型システム）での再帰型エンコーディング

私は純粋な型システム、特に構造の計算を研究しており、フィリップワドラーによれば、再帰型のエンコーディングを使用してそれを可能にしようとしています。例として、私はMorte Haskellライブラリを使用して、Cardelliによって指定されたスコット数値をエンコードしています。

エンコーディングの概要は次のとおりです：（正の）再帰型が与えられた場合...

$$\mu X.F\ X$$

...システムFのタイプとしてエンコードする場合があります...

$$Lfix\ X.F\ X\ =\ \Lambda X.(F\ X\rightarrow X)\rightarrow X$$

...または、純粋な型システムの表記法（明示的な）...$F$

$$Lfix\ =\ \Pi F: *\rightarrow*.\Pi X: *.(F\ X\rightarrow X)\rightarrow X$$

... $F$は型コンストラクターであるため（$*$は型の型）。

これをエンコードするには、Wadlerによると、$fold$、$in$、outの 3つの関数を宣言する必要があり$out$、スコット数値のエンコードでCardelliによって使用されます。

fold：すべてX（FX-> X）-> T-> X

fold = \ X。\ k：FX->X。\ t：T。t X k

in：FT-> T

in = \ s：F T. \ X。\ k：FX-> X. k（F（fold X k）s）。

（$T$は$Lfix\ X. F\ X$です。）

与えられたように関数を書くのは簡単です。しかし、関数を書き込もうとすると、型チェックされないようです。式型はであり、の型はでなければなりません。次に、は（aのように見えるの型であると推測します。型コンストラクタ（）であるため、型チェックは行われません。$fold$$in$$(fold\ X\ k)$$T\rightarrow X$$(F\ (fold\ X\ k)\ s)$$F\ X$$F$$(T\rightarrow X)\rightarrow F\ T\rightarrow F\ X$fmapF$*\rightarrow*$

これはタイプミスのようではありません ...何か不足していますか？

カテゴリ理論では、型コンストラクタとその型コンストラクタに対するマップ関数に同じ記号が使用されるという慣例があります。したがって、f：X-> Yの場合、F f：FX-> F Yとなります。