有限状態オートマトンの言語の無限大の条件

次の定理があります。

状態を持つ有限オートマトンが与えられ、長さが満たす文字列が存在する場合場合、オートマトンが受け入れる言語は無限です。 $n$ $w$ $n \leq |w| \leq 2n-1$

制約を理解しています、なぜ制約がなのかわかりませんがあります。 $|w| \geq n$ $|w| \leq 2n-1$

automata finite-automata

最悪のシナリオでは、NFAは次のようになります。

ループすることが保証されている（無限言語を受け入れるように強制する）最小のサイズはです。 $w$ $2n-1$

— アンドレスーザレモス
ソース

q0から開始し、その後q0に戻ったときは、マシンにサイクルがあることを意味します。最悪の場合、それで十分ではありませんか？なぜ、この場合、再び最終段階に戻るのですか？最終段階に入ると、他の状態に戻ったため、これは私の文字列ではないと想定していますが、再び最終段階に戻ったら、ループが存在するため、この文字列は汲み上げられた？

— rahul sharma 2017年

私たちは、オートマトンについて何かを証明しようとしています。つまり、オートマトンは無限の言語を受け入れます。証明が定式化される方法では、文字列が推測され、そのサイズは特定の間隔内にあると想定されます。明らかに、オートマトンにループがある場合、文字列が存在します。何が起こるかというと、この区間内でを見つけることが不可能である場合、マシンは図のマシンのようにはならないということです。ループがないか、最終状態がありません。

w

$w$

w

$w$

w

$w$

— アンドレ・ソウザ・レモス

私はあなたのポイントを理解しています。私は単に間隔の上限を理解しようとしています、なぜそれが2n-1であり、なぜ2n-x（xは1以外の何でもあり得ます）ではない理由です。上の図では、ループはqo -q1 .... qn-q1 .... qn、right（max。loop）？しかし、私が再びq0になったとき（q0 ... aq、q0）は、ループがあることを意味していません、したがって、最大値はnである必要があります。なぜn-1をnに追加するのか（または、なぜ最終状態に戻るのか）です。これを取得するのに苦労しています：（最大ループをq0にすることができます。q1、q2 ..qn、qn-1、qn-1..q0、something like that？

— rahul sharma

それより悪くならないので、上限はです。はより小さいので、ステップが必要なオートマトンを紹介しました。これ以上必要なものはありません（そして仕事をします）が、この量が必要なものはあります。

2 n - 1

$2n-1$

2 n - x

$2n-x$

2 n - 1

$2n-1$

2 n - 1

$2n-1$

— アンドレ・ソウザ・レモス

了解しました。ちょっとした疑問です。マシンに4つの状態があると仮定します。文字列abcを読み取り、最終状態に達してから、dを読み取って初期状態に戻り、再び最終状態に戻ります。私の文字列はabcdabcになります。これをポンピングレンマに分割して、y ^ iを取得して（i = 1）、yが1回ポンピングされたことを示すにはどうすればよいですか？

— rahul sharma

追加の条件により、受け入れられる言語の（無限の）有限性を決定するために、単純なアルゴリズムを書くことができます-この間隔で長さを持つすべての文字列をチェックします-。したがって、このプロパティが決定可能であることの証明が得られます（これは、超規則的なパワーを持つほとんどのオートマトンモデルには当てはまりません）。

— ラファエル
ソース

完全な定理は含意ではなく同等性を述べています：

NFAが受け入れる言語は、サイズが満たす単語が含まれている場合に限り、無限になります。 $n$ $w$ $n \leq |w| \leq 2n-1$

追加条件このように定理を強くします。 $|w| \leq 2n-1$

— ユヴァルフィルムス
ソース