O（k）メモリO（n）時間のみを使用して、指定されたシーケンスからk番目に小さい要素を見つける

一連の $n$ 数値を1つずつ読み取るとします。セルメモリを使用して線形時間（）で $k$ 番目に小さい要素を見つける方法。私たちは最初に保存すべきだと思うシーケンスの条件をして取得するとき番目の用語を、私たちは必ずそれができないことを期削除番目に小さい要素[保存" 番目の用語を。したがって、各ステップでこの使用できない用語を示すインジケーターが必要であり、このインジケーターは各ステップですばやく更新される必要があります。「マックス」から始めました $O(k)$ $O(n)$ $k$ $k+1$ $k$ $k+1$ ; しかし、迅速に更新することはできません。つまり、maxを考慮した場合、最初の削除ではmaxを逃し、線形ではない $O(k)$ とその原因 $(n-k)\times O(k)$ 時間でmaxを検索する必要があります。おそらく、シーケンスの最初の $k$ 項をよりインテリジェントに保存する必要があります。

この問題を解決するにはどうすればよいですか？

data-structures search-algorithms quicksort

— Shahab_HK
ソース

あなたはオンラインアルゴリズムに興味がありますか、それとも他のアルゴリズムがしませんか？

— Yuval Filmus

もし

k = θ (n)

$k = \theta(n)$ 、あなたは順序統計アルゴリズムを使用することによってそれを行うことができます。場合は

k = o (n)

$k = o(n)$ 、その後、あなたはそれを行うことができます

O (k)

$O(k)$ メモリと

O (n \log k)

$O(n\log k)$ 任意の高さバランスの木を使用して時間を。

— Shreesh 2017年

これは選択問題と呼ばれますen.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm

— xavierm02

グーグルできる線形時間インプレースアルゴリズムがありますが、それらはやや複雑です。

— Yuval Filmus

@ xavierm02同じ選択問題ではありません。メモリ制限の制約があるためです。

— Shahab_HK 2017年

回答:

サイズバッファーを作成します。配列から要素を読み込みます。線形時間選択アルゴリズムを使用して、最小要素が最初になるようにバッファーを分割します。これには時間かかります。ここで、配列から別のアイテムをバッファーに読み込み、バッファー内の最大のアイテムを置き換え、以前のようにバッファーを分割し、繰り返します。 $2k$ $2k$ $k$ $O(k)$ $k$ $k$

これには、時間と空間が必要です。 $O(k * n/k) = O(n)$ $O(k)$

— jbapple
ソース

+1、これは尋ねられた漸近に適合します。そうは言っても、これが単一の線形時間選択アルゴリズムを実行するよりも速いとは思いません...

が小さな定数である場合を除いて、興味深い見方を提供します。たとえば、

このアルゴリズムは関数を生成します。

k

$k$

k = 1

$k = 1$ min

— orlp

時々、線形時間選択アルゴリズムはスペースを使いすぎます。たとえば、ストリーミングコンテキストでの使用や、入力配列が不変である場合には適していません。

— jbapple

それらは有効なポイントです。

— orlp

あなたがそれを行うことができメモリと最初から固定サイズの最大ヒープを形成することにより、時間の要素、配列の残りの部分にわたって反復し、新しいを押し、時間要素、次に要素ごとにをポップして、合計時間 = 求め。 $O(k)$ $O(n \log k)$ $k$ $O(k)$ $O(\log k)$ $O(k + n\log k)$ $O(n \log k)$

中央値中央値選択アルゴリズムを使用してで選択し、最初の要素を返すことにより、補助メモリと時間でそれを行うことができます。漸近線を変更せずに、introselectを使用して平均的なケースを高速化できます。これは、問題を解決するための標準的な方法です。 $O(\log n)$ $O(n)$ $k$ $k$

現在、技術的にはとは比較できません。ただし、は実際にはより良いと主張しこれは、バイトを超えるメモリ（超えるコンピューターシステムがないことを考えると、実質的に一定であるためです。一方、はと同じくらい大きくなることがあります。 $O(\log n)$ $O(k)$ $O(\log n)$ $2^{64}$ $\log 2^{64}= 64$ $k$ $n$

— orlp
ソース

ヒープが興味深いときに使用する順序を逆にすることで、ヒープベースのアルゴリズムの複雑さを

改善できることに注意してください。

O (n \times \log min (k, n - k))

$O(n \times \log\min (k, n - k))$

— xavierm02

@ xavierm02 =。証明：の最悪のケースはです。の最悪のケースはです。これらは定数係数内では同じなので、 =です。

O (m i n (k, n - k))

$O(min(k, n-k))$

O (k)

$O(k)$

k

$k$

n

$n$

m i n (k, n - k)

$min(k, n-k)$

\frac{n}{2}

$n \over 2$

O (m i n (k, n - k))

$O(min(k, n-k))$

O (k)

$O(k)$

— orlp

@ xavierm02とはいえ、それでも素晴らしいスピードアップです:)

— orlp

u_{n, k} = k

$u_{n,k}=k$ はが、はありません。そうだとしましょう。次に、とがいくつかあるので、すべての、、これは明らかに偽です（とることができるためしたがって、です。

O (k)

$O(k)$

O (min (k, n - k))

$O(\min (k, n-k))$

C

$C$

M

$M$

M \leq k \leq n

$M\le k\le n$

k \leq C (n - k)

$k\le C (n-k)$

n = k \to + \infty) .

$n=k \to +\infty).$

O (min (k, n - k)) ⊊ O (k)

$O(\min(k, n-k))\subsetneq O(k)$

— xavierm02

@ xavierm02私はあなたの表記に慣れていません。公平を期すために、私は一般に多次元のビッグ表記に慣れていません。特に、次元は無関係ではないことを考えると、

u_{n, k}

$u_{n, k}$

O

$O$

n, k

$n, k$

— orlp