エッジを超えるすべての単純な無向グラフが接続されています

個の頂点を持つグラフのエッジが場合、それは接続されます。（n − 1 ）（n − 2 $n$$\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

グラフを接続するには、 エッジが必要であることを常に証明できるため、この質問について少し混乱しています。$|E|>n-1$

何があなたを悩ませているのかはわかりませんが、私が見ると、次の2つの事実について混乱しています。

1. グラフが接続されている場合、$e \geq n-1.$

2. グラフがを超える場合、グラフは結合されます。$e > \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

1と2の意味が反対方向にあることに注意してください。

2.の証明については、このリンクをチェックしてください。

あなたの問題は、接続されていないエッジで無向グラフを構築できないことを証明することかもしれません。あなたはそれを間違った方法で考えています。あなたはすべての頂点を接続するために使用する方法を、いくつかのエッジについて式。 E=n−$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$$E = n - 1$

1つの町が切り離されるように恐ろしい高速道路システムを設計しようとしている敵を想像してください。道路をどれほど非効率に費やしても、道路が多すぎる場合は、すべての町を接続する必要があります。

たとえば、可能な限り多くの道路を使用しているものの、1つの町が接続されていないままになるような、最悪の可能性のあるデザインを考えてみましょう。エッジはいくつありますか？それにもう1つのエッジを追加するとどうなりますか？

1.あなたが言ったように、私たちは持っています：

$G\text{ is connected} \Rightarrow |V|-1 \le |E|$

しかし、他の方向は真実ではありません、すなわち：

$G\text{ is connected} \Leftrightarrow |V|-1 \le |E|$

間違ったステートメントです。

したがって、それをさらに推論するために使用することはできません。サンプルカウンターの例は次のグラフです（は個の頂点の完全なグラフであり、はグラフのな結合を意味します）。トン$K_t$$t$$\cup$

$G = K_{n-1} \cup K_1$

$G$はエッジとノードがあり、です。 n（ n − $n-1\choose 2$$n$${n-1\choose 2} > n-1$$n>4$

2.一方、それを証明するには：

${|V|-1 \choose 2} < |E| \Rightarrow G\text{ is connected}$

私たちは次のようにそれを行うことができます：

そうでないとすると、は2つのグラフ結合されていない結合であり、、すべての頂点を接続してグラフを作成すると、（最大値は完全なグラフのエッジ）が：$G$$G=G_1\cup G_2$$|G_1| = k, |G_2| = n-k, 0<k<n$$G_1,G_2$$G"$$|E_{G"}|\le {n \choose 2}$$G"$

${n-1 \choose 2} + 1 + k\cdot (n-k) \le |E_{G"}| \le {n \choose 2} \Rightarrow$

$(k-1)(n-k-1) + 1 \le 0\Rightarrow$と矛盾し。$0<k<n$

グラフGにはn個のノードがありますn =（n-1）+1切断されるグラフには少なくとも1つの分離された頂点が必要です.1つの分離された頂点を持つグラフには最大C（n-1,2）のエッジがあります

したがって、すべての接続されたグラフには、C（n-1,2）を超えるエッジが必要です。