nの除数で最小の整数を効率的に計算する

この問題に取り組むために、私は最初にそれを観察しました

$$\phi(p_1^{e_1} \space p_2^{e_2} \cdots \space p_k^{e_k}) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1)$$

ここで、$\phi(m)$は約数（必ずしも素数ではない）の約数です$m$。$m$が$\phi(m) = n$となるような最小の整数の場合、

$$\phi(m) = n$$ $$(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1) = n$$

ここで、∏ i p e i iが最小になるように選択する必要があります。pの選択は簡単です-それらは昇順の単なる素数です。$e_i$$\prod_{i} p_i^{e_i}$$p$

しかし、を選択するための最初の考え$e_i$は正しくありませんでした。私は単に$n$因数分解し、降順で因数をソートして1を引くことができると思いました。ほとんどの場合、これはうまく機能します。たとえば、$n = 15$除数の最小の整数は次のとおりです。

15 = （4 + 1 ）、 （2 + 1 ）M = 2 4 3 2 =

$$15 = 5 \cdot 3$$ $$15 = (4 + 1)(2 + 1)$$ $$m = 2^4 3^2 = 144$$

しかし、これは正しくありません。$n = 16$

16 = （1 + 1 ）（1 + 1 ）（1 + 1 ）（1 + 1 ）M = 2 1 3 1 5 1 7 1 =

$$16 = 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2$$ $$16 = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^1 3^1 5^1 7^1 = 210$$

正解は次のとおりです。

m = 2 3 3 1 5 1 =

$$16 = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^3 3^1 5^1 = 120$$

したがって、ファクターをマージする必要があることは明らかです。この場合、です。しかし、クリーンで直接的なマージ戦略は正確にはわかりません。たとえば、常に2のべき乗に統合する必要があると考えるかもしれませんが、これは正しくありません。$7^1 > 2^2$$2$

m = 2 96 3 1 5 1 7 1 11 1 > 2 96 3 3 5 1 7

$$1552 = (96 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^{96} 3^1 5^1 7^1 11^1 > 2^{96} 3^3 5^1 7^1$$

私はすぐに例を考えることはできませんが、本能は、いくつかの貪欲なアプローチが最初に間違った力をマージすると失敗する可能性があると言います。

これらのパワーをマージして正しい答えを得る簡単な最適な戦略はありますか？

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$n = 3072$

$$2^2 3^1 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1 31^1$$

$$2^3 3^2 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1$$

$$2^5 3^3 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1$$

ただし、最適なソリューションは次のとおりです。

$$2^7 3^3 5^2 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1$$

上記の私のコメントに基づく解決策は次のとおりです。これが最適であると私は主張しません。

$T(n,m)$$n$$m$

$$\begin{align} T(n, 1) &= 2^{n-1}\\ T(2^m, m) &= p_1p_2\cdots p_m \end{align}$$

そして、私たちにも再発があります：

$$\begin{equation} T(n,m) = \min_{d|n} [T\left(\frac{n}{d}, m-1\right)\cdot p_m^{d-1}] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \min_{1\le i\le\lceil\log(n)\rceil} T(n, i) \end{equation}$$

そのために、ここにいくつかのPythonコードがあります。これは、上記で指定したすべての数値と一致します。対数と連携して数値を小さく保つことに注意してください。したがって、実際に求める整数はround(2**smallest(n))です。

import functools
import itertools
import math

# All primes less than 100.
PRIMES = [
  2, 3, 5, 7, 11,
  13, 17, 19, 23, 29,
  31, 37, 41, 43, 47,
  53, 59, 61, 67, 71,
  73, 79, 83, 89, 97,
]

LOG_PRIMES = [math.log2(p) for p in PRIMES]

def smallest(n):
  max_factors = math.ceil(math.log2(n))
  min_so_far = float('Infinity')
  factors = factorize(n)
  memo = {}
  for i in range(1, max_factors+1):
    t = T(n,i, factors, memo)
    if 0.0 < t < min_so_far:
      min_so_far = t
  return min_so_far

def T(n, m, factors=None, memo=None):
  if memo is None:
    memo = {}
  if n < 2 or m < 1:
    return 0
  elif m == 1:
    # Everything on the smallest prime.
    return (n-1) * LOG_PRIMES[0]
  elif n < 2**m:
    return 0
  elif n == 2**m:
    # Product of first m primes, in log.
    return sum(LOG_PRIMES[:m])
  elif (n,m) in memo:
    return memo[(n,m)]

  if factors is None:
    factors = factorize(n)
  if len(factors) < m:
    return 0

  smallest = float('Infinity')  
  for factor_list in powerset(factors):
    divisor = product(factor_list)
    first = T(divisor, m-1, factor_list, memo)
    # No such product.
    if first < 1.0:
      continue
    second = (n/divisor - 1) * LOG_PRIMES[m-1]
    total = first + second
    if total < smallest:
      smallest = total

  memo[(n,m)] = smallest
  return smallest

def product(nums):
  return functools.reduce(lambda x,y: x*y, nums, 1)

def factorize(n):
  prime_factors = []
  for p in PRIMES:
    while n%p == 0:
      n //= p
      prime_factors.append(p)
    if n == 1:
      break
  return prime_factors

def powerset(lst):
  # No empty set.
  return itertools.chain.from_iterable(itertools.combinations(lst, r) 
                                       for r in range(1, len(lst)+1))

$2^a·3^b·5^c...$

$2^7·3$$2^3·3^3$$2^3·3·5$$2·3·5·7$$2^3·3·5 = 120$

$2^{pq-1}$$2^{p-1}·3^{q-1}$

$2^{ab-1}$$2^{ab-1} > 2^{a-1}·x^{b-1}$$2^3$$2^3 < 2·7$ます。